摘要： 已知函数,其中 (1) 当满足什么条件时,取得极值? (2) 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围. 解: (1)由已知得,令,得, 要取得极值,方程必须有解, 所以△,即, 此时方程的根为 ,, 所以 当时, x (-∞,x1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f’(x) + 0 - 0 + f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当时, x (-∞,x2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+∞) f’(x) - 0 + 0 - f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立. 即恒成立, 所以 设,, 令得或, 当时,,当时,单调增函数; 当时,单调减函数, 所以当时,取得最大,最大值为. 所以 当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以 综上,当时, ; 当时, [命题立意]:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值.单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.

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