例6、下表给出一个“等差数阵”：

4	7	(　　 )	(　　 )	(　　 )	……		……
7	12	(　　 )	(　　 )	(　　 )	……		……
(　　 )	(　　 )	(　　 )	(　　 )	(　　 )	……		……
(　　 )	(　　 )	(　　 )	(　　 )	(　　 )	……		……
……	……	……	……	……	……	……	……
					……		……
……	……	……	……	……	……	……	……

　　 其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数。

(I)写出的值；(II)写出的计算公式；

(III)证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

　　 解：(I)(详见第二问一般性结论)。

　　 (II)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列： ；　　 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： ， ……，第i行是首项为，公差为的等差数列，因此

　　 (III)必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得，从而 。 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

　　 充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得， 从而可见N在该等差数阵中。

　　 综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

评析： 本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。求解关键是如何根据图表信息求出行列式中对应项的通项公式。

例5、将自然数不清，2，3，4……排成数陈(如右图)，在2处转第一个弯，在3转第二个弯，在5转第三个弯，….，则第2005个转弯处的数为____________。

解：观察由1起每一个转弯时递增的数字可发现为“1，1，2，2，3，3，4，4，……”。故在第2005个转弯处的数为：

1+2(1+2+3+……+1002)+1003=1006010。

评析：本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发现。具体解题时需要较强的观察能力及快速探求规律的能力。因此，它在高考中具有较强的选拔功能。

例4、　　　　　 若数列是等差数列，则有数列类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则有数列

解析：由已知“等差数列前n项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到

评析：本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口。

例3、设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1，2，3，…)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为　　　　　　 .

解析：由椭圆第二定义知，这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点的距离即|FP1|=，最大值为右焦点到左顶点的距离即|FP21|=，故若公差d>0,则同理若公差d<0,则可求得。

评析：本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，形式新颖，内容深遂，有一定的难度，可见命题设计者的良苦用心。解决的关键是确定该数列的最大项、最小项，然后根据数列的通项公求出公差的取值范围。

例2、　　　　　 已知数列满足：。

解：由于是知

。

评析：本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目的。其中性质探求是关键。

14、某生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为160%，以后每年的增长率是前一年的一半.设原来的产量是.

(Ⅰ)写出改进设备后的第一年，第二年，第三年的产量，并写出第年与第年()的产量之间的关系式；

(Ⅱ)由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的5%，如此下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是；请说明从第几年起，产量将比上一年减少？

13、已知数列、

(Ⅰ)若{a_n}是等比数列，试求数列{b_n}的前n项和S­_n的公式；

(Ⅱ)当{a_n}是等比数列时，甲同学说：{a_n}一定是等比数列；乙同学说：{a_n}一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？

12、数列的前n项和满足：(nN₊)。

(1)求数列的通项公式；

(2)数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由。

11、已知等比数列的前n项和为，则x的值为

　　 A. 　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　 D.