2．已知函数f(x)定义域为R⁺，且满足条件f(x)=f·lgx+1，f(x)=_______

1．已知f(xⁿ)=lgx(n∈N^*)，则f(2)=_________________.

例1.(上海春) 设函数.(1)在区间[-2,6]上画出函数的图像；

(2)设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；　 (3)当时，求证：在区间上，的图像位于函数f(x)图像的上方.

解：(1)(要求列表描点)　 (2)方程的解分别是和，由于在和[2,5]上单调递减，在[-1,2]和上单调递增，因此　　 .

　　　 由于.　

(3)[解法一] 当时，.　

　，

　　 . 又，

　　 ①　 当，即时，取，

. ，　 则.　

　　 ②　 当，即时，取，　　 ＝.

　　 由 ①、②可知，当时，，.

　　 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.

[解法二] 当时，.由

　得，　 令 ，

解得 或，

在区间[-1,5]上，当时，的图像与函数f(x)的图像只交于一点； 当时，的图像与函数f(x)的图像没有交点. 如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数f(x)图像的上方.　

例2.(全国卷Ⅱ理17设函数，求使的取值范围．

解：由于是增函数，等价于①

⑴当时，，∴①式恒成立。

⑵当时，，①式化为，即。

⑶当时，，①式无解。　　 综上，的取值范围为

例3．已知函数(a，b为常数)且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x₁=3, x₂=4.

　 (1)求函数f(x)的解析式；　 (2)设k>1，解关于x的不等式；

[正确解答](1)将

得

(2)不等式即为

即

①当

②当

③.

例4.(全国II卷)设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。

解：由f(x)为二次函数知，令f(x)＝0解得其两根为

由此可知

(i)当时，的充要条件是，即解得

(ii)当时，的充要条件是，即解得

综上，使成立的a的取值范围为

例5.(上海文22)(本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分，计18分)对定义域是、的函数y=f(x)、y=g(x)，规定：函数。

(1)若函数，，写出函数的解析式；(2)求问题(1)中函数的值域；　 (3)若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明。

解(3)[解法一]令则

于是

[解法二]令，

则

于是

例6．设的值域为[－1，4]，求a、b的值.

例7：已知函数f(x)=,x∈［1,+∞，(1)当a=0.5时，求函数f(x)的最小值　

(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围　

(1)解　 当a=时，f(x)=x++2

∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)=　

(2)解法一　 在区间［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x²+2x+a>0恒成立　

设y=x²+2x+a,x∈［1,+∞，∵y=x²+2x+a=(x+1)²+a－1递增，

∴当x=1时，y_min=3+a,当且仅当y_min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3　 ?

解法二　 f(x)=x++2,x∈［1,+∞

当a≥0时，函数f(x)的值恒为正； 当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)_min=3+a,

当且仅当f(x)_min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3　

点评　 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力　 解题的关健是把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想

12. (04年北京文8) 函数，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：

　　 ①若，则　 　②若，则

　　 ③若，则　 　　④若，则

其中正确判断有　　　 (　　 )　　

A. 1个　　 B. 2个　　 C. 3个　　 D. 4个

10. (05浙江理3)设f(x)＝，则f[f()]＝ ________________　　　　 　

9.(06重庆卷)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f(x)的图象是

解析：如图所示，单位圆中的长为x，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当的长小于半圆时，函数y=f(x)的值增加的越来越快，当的长大于半圆时，函数y=f(x)的值增加的越来越慢，所以函数y=f(x)的图像是D.

8.已知f(cosx)=cos5x，则f(sinx)=___________.

7. (05江苏卷2)函数的反函数的解析表达式为_______________.　

6. (07山东卷)设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为_____(1，2) ( ，+∞)

解：令>2(x<2)，解得1<x<2。令>2(x³2)解得xÎ(，+∞)

5.(07安徽卷)函数对于任意实数满足条件，若则_______。

解：由得，所以，则。