摘要：已知双曲线C的两条渐近线都过原点.且都以点A(.0)为圆心.1为半径的圆相切.双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称. (1)求双曲线C的方程. (2)设直线l过点A.斜率为k,当0＜k＜1时.双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为.试求k的值及此时B点的坐标. 解:(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1. 即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0.). ∴a==b,所求双曲线C的方程为x2-y2=2. (2)设直线l:y=k(x-)(0＜k＜1,依题意B点在平行的直线l′上. 且l与l′间的距离为. 设直线l′:y=kx+m,应有,化简得m2+2km=2. ② 把l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0, 由Δ=4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0.可得m2+2k2=2 ③ ②.③两式相减得k=m,代入③得m2=,解设m=,k=,此时x=,y=.故B(2,).

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