6.已知复数(x－2)+yi(x、y∈R)的模为，则的最大值是

A.　　 　　　　　　B.　 　　　　　C. 　　　　　　　　D.

解析：∵｜x－2+yi｜=，

∴(x－2)²+y²=3.

∴(x，y)在以C(2，0)为圆心、以为半径的圆上，如右图，由平面几何知识知.

答案：D

5.已知复平面内的圆M：|z－2|=1，若为纯虚数，则与复数p对应的点P

A.必在圆M上　　　　　　　　　　　　　 B.必在圆M内

C.必在圆M外　　　　　　　　　　　　　 D.不能确定

解析：∵为纯虚数，设为ki(k∈R，k≠0)，

∴(1－ki)p=1+ki，取模得|p|=1且p≠1.

∴选C.

答案：C

4.设f(n)=()ⁿ+()ⁿ(n∈Z)，则集合{x｜x=f(n)}中元素的个数是

A.1　　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　　 C.3　　　　　　　　 D.无穷多个

解析：∵f(n)=iⁿ+(－i)ⁿ，

∴f(0)=2，f(1)=i－i=0，f(2)=－1－1=－2，f(3)=－i+i=0.

∴{x｜x=f(n)}={－2，0，2}.

答案：C

3.在下列命题中，正确命题的个数为

①两个复数不能比较大小;

②z₁、z₂、z₃∈C，若(z₁－z₂)²+(z₂－z₃)²=0，则z₁=z₃;

③若(x²－1)+(x²+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1;

④z为虚数的一个充要条件是z+∈R;

⑤若a、b是两个相等的实数，则(a－b)+(a+b)i是纯虚数;

⑥复数z∈R的一个充要条件是z=.

A.0　　　　　　　　　　 B.1　　　　　　　　 C.2　　　　　　　　 D.3

解析：①错，两个复数如果都是实数则可比较大小;②错，当z₁、z₂、z₃不全是实数时不成立，如z₁=i，z₂=1+i，z₃=1时满足条件，但z₁≠z₃;③错，当x=－1时，虚部也为零，原数是实数;④错，此条件是必要非充分条件;⑤错，当a=b=0时，原数是实数;⑥对.

答案：B

2.当＜m＜1时，复数z=(3m－2)+(m－1)i在复平面上对应的点位于

A.第一象限　　　　　　　　　　　　　　　 B.第二象限

C.第三象限　　　　　　　　　　　　　　　 D.第四象限

解析：z对应的点为(3m－2，m－1)，

∵＜m＜1，

∴0＜3m－2＜1，－＜m－1＜0.

答案：D

1.如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于

A.　 　　　　　　　B.　　 　　　　　　C.－ 　　　　　　　D.2

解析： ==

∴2－2b=b+4，b=－.

答案：C

22.(14分)设函数y=f(x)定义在R上，对任意实数m、n，恒有f(m+n)=f(m)·

f(n)且当x＞0时，0＜f(x)＜1.

(1)求证：f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；

(2)求证：f(x)在R上递减；

(3)设集合A={(x，y)|f(x²)·f(y²)＞f(1)}，B={(x，y)|f(ax－y+2)=1，

a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围.

(1)证明：在f(m+n)=f(m)f(n)中，

令m=1，n=0，得f(1)=f(1)f(0).

∵0＜f(1)＜1，∴f(0)=1.

设x＜0，则－x＞0.令m=x，n=－x，代入条件式有f(0)=f(x)·f(－x)，而f(0)=1，

∴f(x)=＞1.

(2)证明：设x₁＜x₂，则x₂－x₁＞0，

∴0＜f(x₂－x₁)＜1.

令m=x₁，m+n=x₂，

则n=x₂－x₁，代入条件式，得

f(x₂)=f(x₁)·f(x₂－x₁)，

即0＜＜1.∴f(x₂)＜f(x₁).

∴f(x)在R上单调递减.

(3)解：由f(x²)·f(y²)＞f(1)f(x²+y²)＞f(1).

又由(2)知f(x)为R上的减函数，

∴x²+y²＜1点集A表示圆x²+y²=1的内部.

由f(ax－y+2)=1得ax－y+2=0点集B表示直线ax－y+2=0.

∵A∩B=，∴直线ax－y+2=0与圆x²+y²=1相离或相切.

于是≥1－≤a≤.

21.(12分)设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁、x₂∈［0，］，都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂).

(1)设f(1)=2，求f()，f()；

(2)证明f(x)是周期函数.

(1)解：由f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)，x₁、x₂∈［0，］知f(x)=f()·f()=［f()］²≥0，x∈［0，1］.

因为f(1)=f()·f()=［f()］²，及f(1)=2，所以f()=2.

因为f()=f()·f()=［f()］²，及f()=2，所以f()=2.

(2)证明：依题设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x)f(x)=

f(2－x)，x∈R.

又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x)，x∈R，所以f(－x)=f(2－x)，x∈R.将上式中－x以x代换，得f(x)=f(x+2)，x∈R.

这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.

20.(12分)(2003年北京)有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处.(建立坐标系如下图)

(1)若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？

(2)若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

分析：本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

(1)解：由题设可知，a＞b＞0，记h=，设P的坐标为(0，y)，则P至三镇距离的平方和为

f(y)=2(b²+y²)+(h－y)²=3(y－)²+h²+2b².

∴当y=时，函数f(y)取得最小值.

∴点P的坐标是(0，).

(2)解法一：P至三镇的最远距离为

g(y)=　　 　

由≥|h－y|解得y≥，记y^*=，于是

g(y)=　　 　

当y^*=≥0，即h≥b时，在［y^*，+∞)上是增函数，而|h－y|在(－∞，y^*)上是减函数，由此可知，当y=y^*时，函数g(y)取得最小值；

当y^*=＜0，即h＜b时，函数在［y^*，+∞)上，当y=0时，取得最小值b，而|h－y|在(－∞，y^*)上为减函数，且|h－y|＞b.可见，当y=0时，函数g(y)取得最小值.

∴当h≥b时，点P的坐标为(0，)；

当h＜b时，点P的坐标为(0，0).其中h=.

解法二：P至三镇的最远距离为

g(y)=　　 　

由≥|h－y|解得y≥，记y^*=，于是

g(y)=　　 　

当y^*≥0，即h≥b时，z=g(y)的图象如图(a)，因此，当y=y^*时，函数g(y)取得最小值.

当y^*＜0，即h＜b时，z=g(y)的图象如图(b)，因此，当y=0时，函数g(y)取得最小值.

∴当h≥b时，点P的坐标为(0，)；

当h＜b时，点P的坐标为(0，0).其中h=.

解法三：∵在△ABC中，AB=AC=a，

∴△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为(0，)，且AM=BM=CM.

当P在射线MA上，记P为P₁；

当P在射线MA的反向延长线上，记P为P₂.

若h=≥b(如图(c))，

则点M在线段AO上.

这时P到A、B、C三点的最远距离为P₁C或P₂A，且P₁C≥MC，P₂A≥MA，

所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.

若h=＜b(如图(d))，则点M在线段AO外.

这时P到A、B、C三点的最远距离为P₁C或P₂A，且P₁C≥OC，P₂A≥OC，所以点P与BC边的中点O重合时，P到三镇的最远距离最小.

∴当≥b时，点P的位置在△ABC的外心(0，)；

当＜b时，点P的位置在原点O.

19.(12分)(2005年春季北京，理20)现有一组互不相同且从小到大排列的数据:a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a₀=0.为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工:记T=a₀+a₁+…+a₅，x_n=，y_n=(a₀+a₁+…+a_n)，作函数y=f(x)，使其图象为逐点依次连结点P_n(x_n，y_n)(n=0，1，2，…，5)的折线.

(1)求f(0)和f(5)的值；

(2)设P_n－1P_n的斜率为k_n(n=1，2，3，4，5)，判断k₁、k₂、k₃、k₄、k₅的大小关系；

(3)证明f(x_n)＜x_n(n=1，2，3，4).

(1)解:f(0)==0，

f(5)==1.

(2)解:k_n==a_n，n=1，2，…，5.

因为a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，

所以k₁＜k₂＜k₃＜k₄＜k₅.

(3)证法一:对任何n(n=1，2，3，4)，

5(a₁+…+a_n)=［n+(5－n)］(a₁+…+a_n)

=n(a₁+…+a_n)+(5－n)(a₁+…+a_n)

≤n(a₁+…+a_n)+(5－n)na_n

=n［a₁+…+a_n+(5－n)a_n］

＜n(a₁+…+a_n+a_n+1+…+a₅)=nT，

所以f(x_n)=＜=x_n.

证法二：对任何n(n=1，2，3，4)，

当k_n＜1时，

y_n=(y₁－y₀)+(y₂－y₁)+…+(y_n－y_n－1)

=(k₁+k₂+…+k_n)＜=x_n.

当k_n≥1时，

y_n=y₅－(y₅－y_n)

=1－［(y_n+1－y_n)+(y_n+2－y_n+1)+…+(y₅－y₄)］

=1－(k_n+1+k_n+2+…+k₅)＜1－(5－n)==x_n，

综上，f(x_n)＜x_n.