22.(14分)已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a、b、c∈R，a＞0)，设方程f(x)=x的两个实数根为x₁、x₂.

(1)如果x₁＜2＜x₂＜4，设f(x)的对称轴是x=x₀，求证：x₀＞－1；

(2)如果|x₁|＜2，|x₂－x₁|=2，求b的取值范围.

(1)证明：设g(x)=f(x)－x=ax²+(b－1)x+1.

∴

x₁＜2＜x₂＜4.∴(x₁－2)(x₂－2)＜0，

即x₁x₂＜2(x₁+x₂)－4.

于是x₀=－=(－－)=(x₁+x₂)－x₁x₂＞(x₁+x₂)－(x₁+x₂)+2=－(x₁+x₂)+2＞－(2+4)+2=－1，即x₀＞－1.

(2)解：由方程g(x)=ax²+(b－1)x+1=0，可知x₁x₂=＞0，∴x₁、x₂同号.

若0＜x₁＜2，则x₂－x₁=2，

∴x₂=x₁+2＞2.g(2)=4a+2b－1＜0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又|x₂－x₁|²=(x₁+x₂)²－4x₁x₂=－=2.

∴2a+1=，代入①式得

2＜3－2b.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

解②得b＜.

若－2＜x₁＜0，则x₂=－2+x₁＜－2.

∴g(－2)=4a－2b+3＜0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

将2a+1=代入③式得

2＜2b－1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

解④得b＞.

综上，可知b＜或b＞.

●意犹未尽

五枚金币

有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出5枚硬币，把一枚硬币埋在草地里，把其余4枚放在阿巴格的手上，说：“人生有5枚金币，童年、少年、青年、中年、老年各有一枚，你现在才用了一枚，就是埋在草地里的那一枚，你不能把5枚都扔在草原里，你要一点点地用，每一次都用出不同来，这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原，你将来也一定要走出草原.世界很大，人活着，就要多走些地方，多看看，不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下，那天阿巴格走出了草原.长大后，阿巴格离开了家乡，成了一名优秀的船长.

一语中的：珍惜生命，就能走出挫折的沼泽地.

21.(12分)设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a、b、c∈R且a≠0)，若函数y=f(x)的图象与直线y=x和y=－x均无公共点.

(1)求证：4ac－b²＞1；

(2)求证：对一切实数x，恒有|ax²+bx+c|＞.

证明：(1)方程ax²+bx+c=x和ax²+bx+c=－x均无实根，

即

①+②得4ac－b²＞1.

(2)由4ac－b²＞1，知a(x+)²与同号.

所以|ax²+bx+c|=|a(x+)²+|

=|a(x+)²|+||≥||＞.

20.(12分)学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需用大米1 t，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买.

(1)该食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少?

(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20 t时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件?请说明理由.

解：设该食堂每隔x天购买一次大米，则每次购买x t，设每吨每天所支付的费用为y元，则

(1)y=［1500x+100+2(1+2+…+x)］

=x++1501≥1521，

当且仅当x=，即x=10时取等号.

故该食堂每隔10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少.

(2)y=［1500x·0.95+100+2(1+2+…+x)］(x≥20)

=x++1426，

函数y在［20，+∞)上为增函数，

∴y≥20++1426=1451.

而1451＜1521，故食堂可接受粮店的优惠条件.

19.(12分)解不等式组其中x、y都是整数.

解：原不等式组可化为

得－＜y＜2.

∴y=0或1.

当y=0时，

解得

当y=1时，解得

综上，

18.(12分)已知a、b、c为不等正数，且abc=1，求证：++＜++.

证明：结论++＜bc+ac+ab

2+2+2＜2bc+2ac+2ab.

因为a、b、c为不等正数且abc=1，

所以bc+ac＞2=2.

ac+ab＞2，ab+bc＞2.

所以2+2+2＜2bc+2ac+2ab.

所以原不等式成立.

17.(12分)当|x－2|＜a时，不等式|x²－4|＜1成立，求正数a的取值范围.

解：由|x－2|＜a，得2－a＜x＜2+a.

由|x²－4|＜1，

得－＜x＜－或＜x＜.

∴(2－a，2+a)(－，－)∪(，).

∴或

∴0＜a＜－2.

16.关于x的方程x²+(a²－1)x+a－2=0的两根满足(x₁－1)(x₂－1)＜0，则a的取值范围是____________.

解析：(x₁－1)(x₂－1)＜0一根大于1，一根小于1.

令f(x)=x²+(a²－1)x+a－2，则f(1)＜0.

∴－2＜a＜1.

答案：－2＜a＜1

15.已知偶函数f(x)在［0，+∞)上为增函数，那么不等式f(x)＞f(2－x)的解集是____________.

解析：∵f(x)为偶函数，则f(|x|)＞f(|2－x|)，

即|x|＞|2－x|，得{x|x＞1}.

答案：{x|x＞1}

14.若2x+4y=1，则x²+y²的最小值为____________.

解析：x²+y²=(－2y+)²+y²

=5y²－2y+=5(y－)²+≥.

答案：

13.若a、b∈R，且a+b+3=ab，则ab的取值范围是____________.

解析：ab≤()²，∴a+b+3≤()².

∴a+b≥6或a+b≤－2.

∴ab≥9或ab≤1.

答案：(－∞，1］∪［9，+∞)