5.(2003年春季北京)如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为

A.90°　　　　　　　　　　　　 B.60°　　　　　　　　　　　　 C.45°　　　　　　　　　　　　 D.0°

解析：平面图形折叠后为正三棱锥.如图，取EF的中点M，连结IM、MJ，则MJFD，GHFD，∴MJ∥GH，∠IJM为异面直线GH与JI所成的角.

由已知条件易证△MJI为正三角形.∴∠IJM=60°.

答案：B

4.已知l、m、n是直线，α、β是平面，下列命题中是真命题的是

A.若m∥α，n∥α，则m∥n

B.设α-l-β是直二面角，若m⊥l，则m⊥β

C.若m、n在α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n，则nα或n∥α

D.设m、n是异面直线，若m∥α，则n与α相交

解析：当m∥α，n∥α时，m、n可相交、平行、异面，α-l-β是直二面角，m⊥l，m可在β内.若m、n异面，m∥α，则nα或n∥α或n与α相交.

答案：C

3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，这个长方体对角线的长为

A.2　　　　　　　　　　　　 B.3　　　　　　　　　　　　 C.6　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：设长宽高为a、b、c，则l=，选D.

答案：D

2.将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C₁，这时异面直线AD与BC₁所成角的余弦值是

A. 　　　　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　　 D.

解析：由题意易知∠ABC₁是AD与BC₁所成的角，解△ABC₁，得余弦为.选D.

答案：D

1.(2003年北京)已知α、β是平面，m、n是直线，下列命题中不正确的是

A.若m∥n，m⊥α，则n⊥α　　　　　　　　　　　　 B.若m∥α，α∩β=n，则m∥n

C.若m⊥α，m⊥β，则α∥β　　　　　　　　　　　 D.若m⊥α，mβ，则α⊥β

解析：如图，设平面γ∥α且mγ，

∴m∥α，但m∥n不成立(异面).

答案：B

22.(14分)过点A(0，a)作直线与圆E：(x－2)²+y²=1交于B、C两点，在BC上取满足BP∶PC=AB∶AC的点P.

(1)求P点的轨迹方程；

(2)设所求轨迹方程与圆E交于M、N两点，求△EMN(E为圆心)面积的最大值.

解：(1)设AB方程为y=kx+a，与圆的方程联立得(k²+1)x²+(2ak－4)x+a²+3=0.

x_B+x_C=－，x_B·x_C=.

∵=，∴=.

∴x_P=.

同理，y_P=.

消去k，得2x－ay－3=0.

∴轨迹是直线2x－ay－3=0在圆内一段.

(a2+4)y2－2ay+3=0.

(x－2)²+y²=1　　　　　

|MN|=|y₁－y₂|=2·.

又高为，∴S_△EMN==≤.

仅当a=0时，(S_△EMN)_max=.

21.(12分)已知圆x²+y²－6x－8y+21=0和直线kx－y－4k+3=0.

(1)求证：不论k取什么值，直线和圆总有两个不同的公共点；

(2)求当k取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长.

(1)证明：已知圆的方程为(x－3)²+(y－4)²=4，其圆心(3，4)到直线kx－y－4k+3=0的距离为||=.

要证明直线和圆总有两个不同的公共点，只要证<2，即证(k+1)²<4(1+k²)，

即证3k²－2k+3>0.

而3k²－2k+3=3(k－)²+>0成立.

(2)解：由于当圆心到直线的距离最大时，直线被圆截得的弦最短，

而d===≤=.

当且仅当k=1时，“=”成立，即k=1时，d_max=.

故当k=1时，直线被圆截得的弦最短，该最短弦的长为2=2.

20.(12分)某房产开发公司建楼急需资金1200万元，必须向银行A和银行B贷款，一年本自息还清，银行A至多贷给该公司800万元，年息12%；银行B至多贷款给该公司1000万元，年息14%，问开发公司分别向A、B两银行贷款多少万元，才使所付总利息最少?

解：设开发公司向银行A贷款x万元，向银行B贷款y万元，开发公司需付总利息为S，依题意，有约束条件

x≤800，

x+y≥1200，

x≥0，

y≥0.　 　

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l₀：0.12x+0.14y=0，把直线l₀向右上方平移至l₁的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最小，此时，S=0.12x+0.14y取得最小值.

x+y=1200，　　　　

故该开发公司向银行A贷款800万元，向银行B贷款400万元时，所付总利息最少.

19.(12分)圆C通过不同的三点P(k，0)、Q(2，0)、R(0，1)，已知圆C在P点切线斜率为1，试求圆C的方程.

解：设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0.

2k=F，

E+F+1=0.

∴圆的方程为x²+y²－(k+2)x－(2k+1)y+2k=0，圆心为(，).

又∵k_CP=－1，∴k=－3.

∴圆的方程为x²+y²+x+5y－6=0.

18.(12分)过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l₁、l₂，若l₁交x轴于A点，l₂交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.

解法一：设点M的坐标为(x，y)，

∵M为线段AB的中点，

∴A的坐标为(2x，0)，B的坐标为(0，2y).

∵l₁⊥l₂，且l₁、l₂过点P(2，4)，

∴PA⊥PB，k_PA·k_PB=－1.

而k_PA=，k_PB=(x≠1)，

∴·=－1(x≠1).

整理，得x+2y－5=0(x≠1).

∵当x=1时，A、B的坐标分别为(2，0)、(0，4)，

∴线段AB的中点坐标是(1，2)，它满足方程x+2y－5=0.

综上所述，点M的轨迹方程是x+2y－5=0.

解法二：设M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x，0)、(0，2y)，连结PM，∵l₁⊥l₂，

∴2｜PM｜=｜AB｜.

而｜PM｜=，｜AB｜=，

∴2=.化简，得x+2y－5=0，为所求轨迹方程.

解法三：设M的坐标为(x，y)，由l₁⊥l₂，BO⊥OA知O、A、P、B四点共圆，

∴｜MO｜=｜MP｜，即点M是线段OP的垂直平分线上的点.

∵k_OP==2，线段OP的中点为(1，2)，

∴y－2=－(x－1)，即x+2y－5=0为所求.