摘要：设函数y=f(x)定义在R上.对任意实数m.n.恒有f(m+n)=f(m)· f(n)且当x＞0时.0＜f(x)＜1. (1)求证:f(0)=1.且当x＜0时.f(x)＞1, (2)求证:f(x)在R上递减, (3)设集合A={(x.y)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}.B={(x.y)|f(ax-y+2)=1. a∈R}.若A∩B=.求a的取值范围. (1)证明:在f(m+n)=f(m)f(n)中. 令m=1.n=0.得f(1)=f(1)f(0). ∵0＜f(1)＜1.∴f(0)=1. 设x＜0.则-x＞0.令m=x.n=-x.代入条件式有f(0)=f(x)·f(-x).而f(0)=1. ∴f(x)=＞1. (2)证明:设x1＜x2.则x2-x1＞0. ∴0＜f(x2-x1)＜1. 令m=x1.m+n=x2. 则n=x2-x1.代入条件式.得 f(x2)=f(x1)·f(x2-x1). 即0＜＜1.∴f(x2)＜f(x1). ∴f(x)在R上单调递减. (3)解:由f(x2)·f(y2)＞f(1)f(x2+y2)＞f(1). 又由(2)知f(x)为R上的减函数. ∴x2+y2＜1点集A表示圆x2+y2=1的内部. 由f(ax-y+2)=1得ax-y+2=0点集B表示直线ax-y+2=0. ∵A∩B=.∴直线ax-y+2=0与圆x2+y2=1相离或相切. 于是≥1-≤a≤.

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