2.某校有40个班级，每班50人，每班选派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是

A.40　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.50

C.120　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.150

解析：3×40=120.

答案：C

1.从50件产品中，采用逐一抽取的方法抽取5件产品，若其中只有一件次品，在送质检部门进行检验时次品被抽到的概率是

A.0.1　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 B.0.02

C.0或1　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D.以上都不对

解析：次品被抽到的概率，即入样的概率p===0.1.

答案：A

22.有点难度哟！

(14分)(北京市东城区2004~2005学年第一学期期末教学目标检测)已知常数a>0，向量m=(0，a)，n=(1，0)，经过定点A(0，－a)，以m+λn为方向向量的直线与经过定点B(0，a)，以n+2λm为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)若a=，过E(0，1)的直线l交曲线C于M、N两点，求·的取值范围.

解：(1)设P点的坐标为(x，y)，则 =(x，y+a)，=(x，y－a)，

又n=(1，0)，m=(0，a)，

故m+λn=(λ，a)，n+2λm=(1，2λa).

由题知向量与向量m+λn平行，故λ(y+a)=ax.

又向量与向量n+2λm平行，故y－a=2λax.

两方程联立消去参数λ，得点P(x，y)的轨迹方程是(y+a)(y－a)=2a²x²，　　　　　　 即y²－a²=2a²x².

(2)∵a=，故点P的轨迹方程为2y²－2x²=1，

此时点E(0，1)为双曲线的焦点.

①若直线l的斜率不存在，其方程为x=0，l与双曲线交于M(0，)、N(0，－)，

此时·=(－1)(－－1)=1－=.

②若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1，代入2y²－2x²=1化简得2(k²－1)x²+4kx+1=0.

∵直线l与双曲线交于两点，

∴Δ=(4k)²－8(k²－1)>0且k²－1≠0.

解得k≠±1.

设两交点为M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，

则x₁+x₂=，x₁x₂=.

此时·＝(x₁，y₁－1)·(x₂，y₂－1)=(x₁，kx₁)·(x₂，kx₂)

=x₁x₂+k²x₁x₂=(k²+1)x₁x₂

==(1+).

当－1<k<1时，k²－1<0，故·＝(1+)≤－；

当k>1或k<－1时，k²－1>0，

故·=(1+)>.

综上所述，·的取值范围是(－∞，－)∪［，+∞).

21.有点难度哟！

(12分)(2004年全国Ⅱ，21)给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.

(1)设l的斜率为1，求与夹角的大小；

(2)设=λ，若λ∈［4，9］，求l在y轴上截距的变化范围.

分析：本题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力.

解：(1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x－1.

将y=x－1代入方程y²=4x，并整理得

x²－6x+1=0.设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则有x₁+x₂=6，x₁x₂=1.

·=(x₁，y₁)·(x₂，y₂)

=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂－(x₁+x₂)+1

=－3.

||||=·

==.

cos〈，〉==－.

所以与夹角的大小为

π－arccos.

(2)由题设=λ，得

(x₂－1，y₂)=λ(1－x₁，－y₁)，

y₂=－λy₁.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 ②

由②得y₂²=λ²y₁².

∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴x₂=λ²x₁.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

联立①③解得x₂=λ.依题意有λ>0，

∴B(λ，2)或B(λ，－2).又F(1，0)，得直线l方程为(λ－1)y=2(x－1)或(λ－1)y=－2(x－1).

当λ∈［4，9］时，l在y轴上的截距为或－.由=+，

可知在［4，9］上是递减的，

∴≤≤，－≤－≤－.

直线l在y轴上截距的变化范围为［－，－］∪［，］.

20.(12分)(2003年北京朝阳区模拟题)已知椭圆C：+=1(a＞b＞0).

(1)若点P(x₀，y₀)是椭圆C内部的一点，求证：+＜1；

(2)若椭圆C：+=1(a＞b＞0)上存在不同的两点关于直线l：y=x+1对称，试求a、b满足的关系式.

(1)证明：设F₁、F₂为椭圆C的左、右两个焦点.∵P是椭圆C内部的一点，

∴|F₁P|+|F₂P|＜2a.

∴+＜2a.

∴(a²－c²)x₀²+a²y₀²＜a²(a²－c²).

∴+＜1(b²=a²－c²).

(2)解：设椭圆C上关于直线l对称的点A、B的坐标为A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，线段AB的中点坐标为M(x_M，y_M)，则有

b²x₁²+a²y₁²=a²b²，　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　①

b²x₂²+a²y₂²=a²b²，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

=－1，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ③

y_M=x_M+1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ④

②－①得b²(x₂²－x₁²)+a²(y₂²－y₁²)=0，

b²(x₂－x₁)(x₂+x₁)+a²(y₂－y₁)(y₂+y₁)=0，

b²x_M+a²y_M=0，

把③代入上式得b²x_M－a²y_M=0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ⑤

由④和⑤得x_M=，y_M=，

即M(，).

∵点M在椭圆C的内部，

∴+＜1.

∴a²+b²＜(b²－a²)²=(a+b)²(a－b)².

a、b应满足的不等式为a²+b²＜(a+b)²(a－b)².

19.(12分)(2004年春季上海)设点P(x，y)(x≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M(，0)的距离比点P到y轴的距离大.

(1)求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；

(2)若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点，且OA⊥OB，点O到直线l的距离为，求直线l的方程.

解：(1)∵x≥0，∴=x+.

整理得y²=2x.

这就是动点P的轨迹方程，它表示顶点在原点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线.

(2)①当直线l的斜率不存在时，由题设可知，直线l的方程是x=.

联立x=与y²=2x，可求得点A、B的坐标分别为(，)与(，－)，此时不满足OA⊥OB，故不合题意.

②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+b(其中k≠0，b≠0).

将x=代入y²=2x中，

并整理得ky²－2y+2b=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

设直线l与抛物线的交点坐标为A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则y₁、y₂为方程①的两个根，于是y₁y₂=.

又由OA⊥OB可得x₁x₂+y₁y₂=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

将x₁=，x₂=代入②并整理得y₁y₂+4=0，∴b+2k=0.　　　　　　　　　　　　　　　 　 ③

又由点O到直线l的距离为，得=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ④

联立③④得k=1，b=－2或k=－1，b=2.

故直线l的方程为y=x－2或y=－x+2.

18.(12分)已知椭圆的焦点是F₁(－，0)和F₂(，0)，离心率为e=.

(1)求椭圆上的点到直线2x+3y+8=0距离的最大值；

(2)若P在椭圆上，·=，求△PF₁F₂的面积.

解：(1)设椭圆+=1，半焦距为c，则

　 　 c=　　　 　a=2　　　　　 a²=4，

=　　　 a²－b²=3　　　 b²=1.

∴椭圆方程为+y²=1.

设椭圆上的点为P(2cosθ，sinθ)，

P到直线2x+3y+8=0的距离d=||=||≤||=.

当且仅当sin(θ+)=1时取“=”(其中tan=).

椭圆上的点到直线2x+3y+8=0的最大值为.

(2)∵·=||||cos〈，〉=，

又∵||²=||²+||²－2||·||cos〈，〉，

∴|PF₁|+|PF₂|=4，

即12=(||+||)²－2||·||－·2=16－2||·||－·2?||·||=cos〈，〉=sin〈，〉=.

∴S_△PFF=||||sin〈，〉=··=.

17.(12分)(2005年北京海淀区第一学期期末练习)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F₁(－2，0)，左准线l₁与x轴交于点N(－3，0)，过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点.

(1)求直线l和椭圆的方程；

(2)求证：点F₁(－2，0)在以线段AB为直径的圆上；

(3)在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过点F₁的所有圆中，求面积最小的圆的半径长.

(1)解：直线l：y=(x+3)，

由已知c=2及=3，

解得a²=6，∴b²=6－2²=2.

∴椭圆方程为+=1.

y=(x+3)， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　②

将②代入①，整理得2x²+6x+3=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ③

设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则x₁+x₂=－3，x₁x₂=.

方法一：k·k=·

=

=

=－1，

∴F₁A⊥F₁B，即∠AF₁B=90°.

∴点F₁(－2，0)在以线段AB为直径的圆上.

方法二：·=(x₁+2，y₁)·(x₂+2，y₂)

=(x₁+2)(x₂+2)+y₁y₂

=x₁x₂+2(x₁+x₂)+4+［x₁x₂+3(x₁+x₂)+9］

=x₁x₂+3(x₁+x₂)+7=0，

∴F₁A⊥F₁B.则∠AF₁B=90°.

∴点F₁(－2，0)在以线段AB为直径的圆上.

(3)解：面积最小的圆的半径长应是点F₁到直线l的距离，设为r.

∴r==为所求.

16.(2004年春季上海)若平移椭圆4(x+3)²+9y²=36，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x轴、y轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是_____________.

解析：由题意知椭圆的长半轴长a=3，短半轴长b=2，因椭圆与x轴、y轴只有一个交点，故椭圆与x轴、y轴相切，椭圆的中心为(3，2)，所以椭圆方程为+=1.

答案：+=1

15.(2005年黄冈市调研，15)在△ABC中，B(－2，0)、C(2，0)、A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边△ABC满足的条件及相应的右边A点的轨迹方程连起来.(错一条连线得0分)

①△ABC周长为10　 a　 y²=25

②△ABC面积为10　 b　 x²+y²=4(y≠0)

③△ABC中，∠A=90°　 c　 +=1(y≠0)

解析：①由|AB|+|AC|=6，得+=1(y≠0).

②由|BC||y|=10，得y²=25.

③由|AB|²+|AC|²=|BC|²，得x²+y²=4(y≠0).

答案：①→c　 ②→a　 ③→b