18.(本小题满分12分)

已知正四棱柱ABCD-ABCD′的底面边长为3,高为4.

(1)平面ABCD内是否存在与AB不平行的直线与BC′垂直?证明你的结论.

(2)求二面角A′-BC′-B′的大小.

(3)求点D′到平面ABC′的距离.

解法一:(几何法)(1)不存在.

证明:假设平面ABCD内存在与AB不平行的直线lBC′垂直.

ABCD-ABCD′是正四棱柱,

ABBC′.

ABl相交,

BC′⊥平面ABCD.

BB′⊥平面ABCD,这与“过一点只能作一条直线与一个平面垂直”相矛盾.故平面ABCD内不存在与AB不平行的直线lBC′垂直.                       4分

(2)作BHBC′于H.

连结AH.

AB′⊥平面BBC′,

AHBC′.

∴∠AHB′为二面角A′-BC′-B′的平面角.

易求得BH=,

AH=.

AB′=3,

∴△ABH中,cos∠AHB′===.

∴∠AHB′=arccos为所求.                                  8分

(3)设d为所求距离.

VD′-ABC=VB-ACD,

SABC·d=SACD·BB··d=·(·32)·4d=为所求.                                                             12分

解法二:(向量法)(1)不存在.

证明:建立如图空间直角坐标系.不妨假设平面ABCD内存在直线BE(EAD上且与A不重合)与BC′垂直(如图).

E(0,t,4)(t≠0),

=(0,t,4)-(3,0,4)=(-3,t,0).

==+=(0,0,-4)+(0,3,0)=(0,3,-4),

·=(0,3,-4)·(-3,t,0)=3t=0t=0,这与t≠0矛盾.

∴平面ABCD内不存在与AB不平行的直线lBC′垂直.

(2)如图,作AHBC′于H,连结BH.

AB′⊥平面BBC′,

BHAH在平面BBC′内的射影.

BHBC′.

∴∠AHB′就是二面角A′-BC′-B′的平面角.

H(3,y,z),∵B′(3,0,0),

=(0,-y,-z).

=(3,3,0)-(3,0,4)=(0,3,-4),

· =-3y+4z.

,∴-3y+4z=0.                                              ①

又由 =λ,可得4y+3z-12=0.                                   ②

解①②联立的方程组,得y=,z=.

=(3,0,0)-(0,,)=(3,-,-),=(-3,-,-).

又易得||=,||=.

∴cos∠AHB′=

=

=.

∴∠AHB′=arccos为所求.                                  8分

(3)由(2)可知BC′⊥平面AHB′.

BC平面ABC′,

∴平面AHB′⊥平面ABC′.

BGAHG,则BG⊥平面ABC′,BG就是点B′到平面ABC′的距离.

BG=BH·sin∠AHB′=·=.

ABCD-ABCD′是正四棱柱,

∴易证点D′与点B′到平面ABC′的距离相等.

为所求.                                               12分

 0  50381  50389  50395  50399  50405  50407  50411  50417  50419  50425  50431  50435  50437  50441  50447  50449  50455  50459  50461  50465  50467  50471  50473  50475  50476  50477  50479  50480  50481  50483  50485  50489  50491  50495  50497  50501  50507  50509  50515  50519  50521  50525  50531  50537  50539  50545  50549  50551  50557  50561  50567  50575  447348 

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