8. (湖南卷)自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1>0.不考虑其它因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c.

  (Ⅰ)求xn+1xn的关系式;

  (Ⅱ)猜测:当且仅当x1a,b,c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不

要求证明)

  (Ⅱ)设a=2,b=1,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*,则捕捞强度b的

     最大允许值是多少?证明你的结论.

解(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为

  (II)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1, n∈N*,从而由(*)式得

    

     因为x1>0,所以a>b.

     猜测:当且仅当a>b,且时,每年年初鱼群的总量保持不变.

  (Ⅲ)若b的值使得xn>0,n∈N*

     由xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知

     0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有0<x1<3-b. 即0<b<3-x1.

     而x1∈(0, 2),所以

     由此猜测b的最大允许值是1.

     下证 当x1∈(0, 2) ,b=1时,都有xn∈(0, 2), n∈N*

     ①当n=1时,结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立,即xk∈(0, 2),

则当n=k+1时,xk+1=xk(2-xk­)>0.

又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2,

所以xk+1∈(0, 2),故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知,对于任意的n∈N*,都有xn∈(0,2).

综上所述,为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0, n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是1.

 0  50058  50066  50072  50076  50082  50084  50088  50094  50096  50102  50108  50112  50114  50118  50124  50126  50132  50136  50138  50142  50144  50148  50150  50152  50153  50154  50156  50157  50158  50160  50162  50166  50168  50172  50174  50178  50184  50186  50192  50196  50198  50202  50208  50214  50216  50222  50226  50228  50234  50238  50244  50252  447348 

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