8、(2007鄂尔多斯)我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称_________，________；

(2)如图16(1)，已知格点(小正方形的顶点)，，，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；

(3)如图16(2)，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，．

求证：，即四边形是勾股四边形．

解：

(1)正方形、长方形、直角梯形．(任选两个均可)················ 2分(填正确一个得1分)

(2)答案如图所示．或．(没有写出不扣分)

　····································································· 2分(根据图形给分，一个图形正确得1分)

(3)证明：连结

····································································································· 5分

，······························································································ 6分

　，······························································· 7分

　　·············································· 8分

，即四边形是勾股四边形················································· 9分

7、(2007江苏无锡)图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．

　　　　图1　　　　图2　　　　　图3　　　　图4

如果图1中的圆圈共有12层，(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是　　 ；(2)我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．

解：(1)67．·············································································································· 2分

(2)图4中所有圆圈中共有个数，

其中23个负数，1个0，54个正数，············································································· 4分

图4中所有圆圈中各数的绝对值之和

．······························· 6分

4、(2007江苏连云港)如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．

某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．

(1)研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点(如图2)，则直线是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

(3)研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接(如图3)，则直线也是的黄金分割线．

请你说明理由．

(4)如图4，点是的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点．

解：(1)直线是的黄金分割线．理由如下：

　　设的边上的高为．

　　，，，

　　所以，，．······················································ 2分

　　又因为点为边的黄金分割点，所以有．因此．

　　所以，直线是的黄金分割线．·················································· 4分

　　(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，即

，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．··············· 6分

(3)因为，所以和的公共边上的高也相等，

所以有．·········································································· 7分

　设直线与交于点．所以．

　所以

　，．

　又因为，所以．······························ 9分

　因此，直线也是的黄金分割线．·········································· 10分

　(4)画法不惟一，现提供两种画法；····················································· 12分

　画法一：如答图1，取的中点，再过点作一条直线分别交，于，点，则直线就是的黄金分割线．

　画法二：如答图2，在上取一点，连接，再过点作交于点，连接，则直线就是的黄金分割线．

3、(2007广东梅州)将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则__________．

答：