四川师大附中高2006届高三数学总复习（十四）实验修订版

§14. 复 数  知识要点

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.

⑵复数及其相关概念：

①      复数―形如a + bi的数（其中）；

②      实数―当b = 0时的复数a + bi，即a；

③      虚数―当时的复数a + bi；

④      纯虚数―当a = 0且时的复数a + bi，即bi.

⑤      复数a + bi的实部与虚部―a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

⑥      复数集C―全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]

若，则.（√）

②若，则是的必要不充分条件.（当，

时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：.

其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.

由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.

⑵曲线方程的复数形式：

①为圆心，r为半径的圆的方程.

②表示线段的垂直平分线的方程.

③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.

④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.

⑶绝对值不等式：

设是不等于零的复数，则

①.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

②.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

注：.

3. 共轭复数的性质：

，（a + bi）              

（）                              

注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

4. ⑴①复数的乘方：

②对任何，及有

③ 

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.

②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论：

若是1的立方虚数根，即，则                                                  .

5.  ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：

①.

②若，是纯虚数.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

注：.

6. ⑴复数的三角形式：.

辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.

注：①为零时，可取内任意值.

②辐角是多值的，都相差2的整数倍.

③设则.

⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

，，.

⑶几类三角式的标准形式：

7. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：

①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.

②当不全为实数时，不能用方程根的情况.

③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

8. 复数的三角形式运算：

棣莫弗定理：.

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四川师大附中高2006届高三数学总复习（十三）实验修订版

§13. 导 数  知识要点

1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.

②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.

2. 函数在点处连续与点处可导的关系：

⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.

事实上，令，则相当于.

于是

⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.

例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在.

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

4. 求导数的四则运算法则：

（为常数）

注：①必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.

例如：设，，则在处均不可导，但它们和

在处均可导.

5. 复合函数的求导法则：或

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数在区间内恒有=0，则为常数.

注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）

当函数在点处连续时，

①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；

②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.

也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0^①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点^②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.

例如：函数，使=0，但不是极值点.

②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.

8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义.

9. 几种常见的函数导数：

I.（为常数）                      

（）                   

II.                             

III. 求导的常见方法：

①常用结论：.

②形如或两边同取自然对数，可转化求代数和形式.

③无理函数或形如这类函数，如取自然对数之后可变形为，对两边求导可得.

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四川师大附中高2006届高三数学总复习（十二）

§12. 极 限  知识要点

1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确；②假设当（）时，结论正确，证明当时，结论成立.

⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果

①当（）时，成立；

②假设当（）时，成立，推得时，也成立.

那么，根据①②对一切自然数时，都成立.

2. ⑴数列极限的表示方法：

①

②当时，.

⑵几个常用极限：

①（为常数）

②

③对于任意实常数，

当时，

当时，若a = 1，则；若，则不存在

当时，不存在

⑶数列极限的四则运算法则：

如果，那么

①

②

③

特别地，如果C是常数，那么

.

⑷数列极限的应用：

求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为.

（化循环小数为分数方法同上式）

注：并不是每一个无穷数列都有极限.

3. 函数极限；

⑴当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为.记作或当时，.

注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求.（当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关.函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.）

如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.

⑵函数极限的四则运算法则：

如果，那么

①

②

③

特别地，如果C是常数，那么

.

（）

注：①各个函数的极限都应存在.

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.

⑶几个常用极限：

①

②（0＜＜1）；（＞1）

③

④，（）

4. 函数的连续性：

⑴如果函数f（x），g（x）在某一点连续，那么函数在点处都连续.

⑵函数f（x）在点处连续必须满足三个条件：

①函数f（x）在点处有定义；②存在；③函数f（x）在点处的极限值等于该点的函数值，即.

⑶函数f（x）在点处不连续（间断）的判定：

如果函数f（x）在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f（x）的不连续点.

①f（x）在点处没有定义，即不存在；②不存在；③存在，但.

5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：

⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（＜＜）使.

⑵介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（＜＜）.

⑶夹逼定理：设当时，有≤≤，且，则必有

注：：表示以为的极限，则就无限趋近于零.（为最小整数）

6. 几个常用极限：

①

②

③为常数）

④

⑤为常数）

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高考复习科目：数学      高中数学总复习(十一) 

复习内容：高中数学第十一章-概率 第十二章-概率与统计

复习范围：第十一章、第十二章

编写时间：2005-5

修订时间：总计第三次 2005-6

                                   I. 基础知识要点           

一、概率.

1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率.

3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.

注意：i.对立事件的概率和等于1：.

ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.

③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A?B)=P(A)?P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有，因此有.

推广：若事件相互独立，则.

注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与与B，与也都相互独立.

ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.

iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.

④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：.

4. 对任何两个事件都有

二、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：

ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

…

…

P

…

…

有性质①；  ②.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中] 

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n?p），其中n，p为参数，并记.

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.

1

2

3

…

k

…

P

q

qp

…

…

我们称ξ服从几何分布，并记，其中

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定＜时，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即～.[我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

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高考复习科目：数学      高中数学总复习（九） 

复习内容：高中数学第十章-排列组合

复习范围：第十章

编写时间：2004-7

修订时间：总计第三次 2005-4

一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理.

2. 可以有重复元素的排列.

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高考复习科目：数学      高中数学总复习（九） 

复习内容：高中数学第九章-立体几何

复习范围：第九章

编写时间：2004-7

修订时间：总计第三次 2005-4

                                   I. 基础知识要点           

一、 平面.

1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.

注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.

2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）

3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）

[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.

4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向）

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高考复习科目：数学      高中数学总复习（八） 

复习内容：高中数学第八章-圆锥曲线方程

复习范围：第八章

编写时间：2004-7

修订时间：总计第三次 2005-4

I. 基础知识要点

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四川师大附中高2006届高三数学总复习（七）实验修订版

§7. 直线和圆的方程  知识要点

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四川师大附中高2006届高三数学总复习（六）

§6. 不 等 式  知识要点

1. ⑴平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

（当a = b时取等）

特别地，（当a = b时，）

幂平均不等式：

⑵含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：

①

②

（，）；

（）

⑶绝对值不等式：

⑷算术平均≥几何平均（a₁、a₂…a_n为正数）：（a₁=a₂…=a_n时取等）

⑸柯西不等式：设则

等号成立当且仅当时成立.（约定时，）

例如：.

⑹常用不等式的放缩法：①

②

2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：

①       

②

类似于

③

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高考复习科目：数学      高中数学总复习（五） 

复习内容：高中数学第五章-平面向量

复习范围：第五章

编写时间：2004-7

修订时间：总计第三次 2005-4

1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.

注意：①若为单位向量，则. （） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向.

②若，则∥. （√）

2. ①=      ②      ③

④设     

        （向量的模，针对向量坐标求模） 

⑤平面向量的数量积：    ⑥     ⑦

⑧

注意：①不一定成立；.

②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.

③长度为0的向量叫零向量，记，与任意向量平行，的方向是任意的，零向量与零向量相等，且.

④若有一个三角形ABC，则⁰；此结论可推广到边形.

⑤若（），则有. （） 当等于时，，而不一定相等.

⑥?=，=（针对向量非坐标求模），≤.

⑦当时，由不能推出，这是因为任一与垂直的非零向量，都有?=0.

⑧若∥，∥，则∥（×）当等于时，不成立.

3. ①向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得（平行向量或共线向量）.

当与共线同向：当与共线反向；当则为与任何向量共线.

注意：若共线，则  （×）

若是的投影，夹角为，则，  （√）

②设=，

∥    

⊥

③设，则A、B、C三点共线∥=（）

（）=（）（）

（）?（）=（）?（）

④两个向量、的夹角公式：

⑤线段的定比分点公式：（和）

设 =（或=），且的坐标分别是，则

推广1：当时，得线段的中点公式：

推广2：则（对应终点向量）.

三角形重心坐标公式：△ABC的顶点，重心坐标：

注意：在△ABC中，若0为重心，则，这是充要条件.

⑥平移公式：若点P按向量=平移到P^‘，则

4. ⑴正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则.

⑵余弦定理：

⑶正切定理：

⑷三角形面积计算公式：

设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为h_a，h_b，h_c，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.

①S_△=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c                 ②S_△=Pr      ③S_△=abc/4R

④S_△=1/2sinC?ab=1/2ac?sinB=1/2cb?sinA   ⑤S_△=  [海伦公式]  

⑥S_△=1/2（b+c-a）r_a[如下图]=1/2（b+a-c）r_c=1/2（a+c-b）r_b

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.

如图：                                           图1中的I为S_△ABC的内心， S_△=Pr

                                                 图2中的I为S_△ABC的一个旁心，S_△=1/2（b+c-a）r_a

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即]

则：①AE==1/2（b+c-a）                                                

②BN==1/2（a+c-b）

③FC==1/2（a+b-c）

综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.                                 

特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）.           

⑹在△ABC中，有下列等式成立.

证明：因为所以，所以，结论！

⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则.

证明：在△ABCD中，由余弦定理，有①

在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化简

可得，（斯德瓦定理）

①若AD是BC上的中线，；

②若AD是∠A的平分线，，其中为半周长；

③若AD是BC上的高，，其中为半周长.

⑻△ABC的判定：

△ABC为直角△∠A + ∠B =

＜△ABC为钝角△∠A + ∠B＜

＞△ABC为锐角△∠A + ∠B＞

附：证明：，得在钝角△ABC中，

⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

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