高考复习科目：数学      高中数学总复习（五） 

复习内容：高中数学第五章-平面向量

复习范围：第五章

编写时间：2004-7

修订时间：总计第三次 2005-4

1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.

注意：①若为单位向量，则. （） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向.

②若，则∥. （√）

2. ①=      ②      ③

④设     

        （向量的模，针对向量坐标求模） 

⑤平面向量的数量积：    ⑥     ⑦

⑧

注意：①不一定成立；.

②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.

③长度为0的向量叫零向量，记，与任意向量平行，的方向是任意的，零向量与零向量相等，且.

④若有一个三角形ABC，则⁰；此结论可推广到边形.

⑤若（），则有. （） 当等于时，，而不一定相等.

⑥?=，=（针对向量非坐标求模），≤.

⑦当时，由不能推出，这是因为任一与垂直的非零向量，都有?=0.

⑧若∥，∥，则∥（×）当等于时，不成立.

3. ①向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得（平行向量或共线向量）.

当与共线同向：当与共线反向；当则为与任何向量共线.

注意：若共线，则  （×）

若是的投影，夹角为，则，  （√）

②设=，

∥    

⊥

③设，则A、B、C三点共线∥=（）

（）=（）（）

（）?（）=（）?（）

④两个向量、的夹角公式：

⑤线段的定比分点公式：（和）

设 =（或=），且的坐标分别是，则

推广1：当时，得线段的中点公式：

推广2：则（对应终点向量）.

三角形重心坐标公式：△ABC的顶点，重心坐标：

注意：在△ABC中，若0为重心，则，这是充要条件.

⑥平移公式：若点P按向量=平移到P^‘，则

4. ⑴正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则.

⑵余弦定理：

⑶正切定理：

⑷三角形面积计算公式：

设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为h_a，h_b，h_c，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.

①S_△=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c                 ②S_△=Pr      ③S_△=abc/4R

④S_△=1/2sinC?ab=1/2ac?sinB=1/2cb?sinA   ⑤S_△=  [海伦公式]  

⑥S_△=1/2（b+c-a）r_a[如下图]=1/2（b+a-c）r_c=1/2（a+c-b）r_b

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.

如图：                                           图1中的I为S_△ABC的内心， S_△=Pr

                                                 图2中的I为S_△ABC的一个旁心，S_△=1/2（b+c-a）r_a

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即]

则：①AE==1/2（b+c-a）                                                

②BN==1/2（a+c-b）

③FC==1/2（a+b-c）

综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.                                 

特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）.           

⑹在△ABC中，有下列等式成立.

证明：因为所以，所以，结论！

⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则.

证明：在△ABCD中，由余弦定理，有①

在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化简

可得，（斯德瓦定理）

①若AD是BC上的中线，；

②若AD是∠A的平分线，，其中为半周长；

③若AD是BC上的高，，其中为半周长.

⑻△ABC的判定：

△ABC为直角△∠A + ∠B =

＜△ABC为钝角△∠A + ∠B＜

＞△ABC为锐角△∠A + ∠B＞

附：证明：，得在钝角△ABC中，

⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.