第二章 函数
一、映射与函数
1.
映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则
，对于集合
的 元素，在集合
中都有 元素与它对应，那么这样的对应叫做
映射，记作：
．
2.
一一映射：
如果映射
满足：⑴对于中的不同元素，在集合中有 的象；⑵中的
都有原象，那么叫做到的一一映射．
3.
函数：设A、B是
，如果按某个确定的对应关系，对于集合中
的 数
，在集合中都有 数
和它对应，那么就称为集合到集合一个的函数，记作
，
．其中叫做
，的取值范围叫做函数的 ；与的值相对应的
的值叫做 ，函数值的集合
叫做函数的
。
4.
区间：设
，且
，则区间
=｛
｝，
5. 函数三要素：⑴ ；⑵ ；⑶ ．
6. 函数的表示法：⑴ ；⑵ ；⑶ ．
7. 分段函数：若函数在定义域的不同子集上有不同的对应法则，可用几个式子来表示函数，这种函数叫做分段函数．
8.
复合函数：若是
的函数，又是的函数，即：
，
，
，
，那么关于的函数
，叫做和的复合函数．
二、函数的解析式
9、如果一个函数的对应法则可以用一个数学式子来表示，那么这个数学式子就叫函数的解析式．求两个变量的函数关系时，一是求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．
10、求解析式的常用方法：
⑴ 已知解析式的结构时，可用待定系数法
⑵ 已知复合函数
的表达式时，可用换元法；
⑶ 已知抽象函数表达式时，可用消元法．
三、函数的定义域
11、 求定义域时需要考虑：⑴分式的 ；⑵偶次根式的 ；⑶对数式的 ；⑷指数、对数式的 ；⑸由一些基本函数通过四则运算得到解析式使解析式有意义．
12、 已知
的定义域为
，则的定义域由
解出；已知的定义域为，则的定义域为
．
四、函数的值域和最值
13、函数的值域取决于函数的对应法则、定义域．
14、求函数值域的常用方法：（写出四种）
1）____________ 2）______________ 3）____________ 4）_______________
15．函数在区间
内连续可导，且只有一个点使得
，若函数在这点处有极大（小）值，则该值是_________________
16．在闭区间
上连续的函数在上必有_______________
五、函数的单调性：
17、定义：
⑴对于给定区间上的函数，如果对于这个区间上的任意两个自变量的值
，当
时都有 ，那么就说
是这个区间上的增函数；
⑵对于给定区间上的函数，如果对于这个区间上的任意两个自变量的值，当时都有 ，那么就说是这个区间上的减函数．
⑶如果函数在某个区间上是增函数或减函数，就说函数在这个区间上具有 _____________，这个区间叫做函数的 ．
18、判定：
⑴ 用定义：取值、作差、变形定号、作出结论
⑵ 利用图象；
⑶ 利用复合函数：
写出
的单调区间：
____________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
____________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
写出
的单调区间：
____________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
____________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
（4）利用导数：函数在某个区间可导，若
，则在该区间是_________；
若
，则在该区间是_________。
19、常见函数的单调性：
时，
在_________上___________
时，在_________上___________
时，在___________________________上___________
时，在___________________________上___________
增
增
减
减
20、
增
减
减
增
增
增
增
减
减
增
减
减
六、奇函数，偶函数：
21、奇函数：
（1） 定义：①
②
（2） 图象性质：___________________________________
（3） 奇函数在其对称区间上单调性_______
（4） 若0在其定义域内，则
______
22、偶函数：
（1）定义：①
②
（2）图象性质：___________________________________
（3）偶函数在其对称区间上单调性_______
23、奇奇得偶；偶偶得偶；奇偶得奇。
七、周期性：
24、已知函数的定义域为D，若存在一个非零常数T，使
时，都有________________
则称为周期函数，_______叫做这个函数的周期。
八、反函数：
25、反函数存在的条件：
⑴如果一个函数是________映射，那么这个函数必有反函数．
⑵如果一个函数具有 那么这个函数必有反函数．
26、求反函数的步骤：⑴ ；⑵ ；⑶ ．
27、反函数的性质：
（1）互为反函数的两个函数的图象关于 对称；
（2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的 ．
（3）如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为_________
九、图象变换
28、对称变换：
①y = f（x）与___________关于x轴对称
②y =f（x）与____________关于y轴对称
③y =f（x）与____________关于原点对称
④若
_____________________，则关于__________对称
29、平移变换：(
)
的图象可由
____________________________________得到
的图象可由____________________________________得到
的图象可由____________________________________得到
的图象可由____________________________________得到
30、翻折变换：
的图象可由______________________________________得到
的图象可由______________________________________得到
十、二次函数
31、函数
1）写出的顶点式（即配方式）
_____________________________
2）若已知
的两根是
、
，则_____________________________
3）单调性：若，则
（___________________）时，单调递减
则（___________________）时，单调递增
若
，则（___________________）时，单调递减
则（___________________）时，单调递增
4）讨论在闭区间
上的最值 （）
①
②
③
5）讨论的根在某区间上的分布情况 （）
①在区间
上有且仅有一根，则_________________________________
②在区间上有两根，则_____________________________________________________
③在区间、
上各有一根，则______________________________
十一、指数：
32、整数指数幂概念：
________
33、
的
次方根的概念
一般地，如果一个数的次方等于
，那么这个数叫做的次方根，
即： 若
，则
叫做的次方根，
说明： ①若是奇数，则的次方根记作
； 若
则
，若
则
；
②若是偶数，且，则的正次方根记作，的负次方根，记作：
；
③若是偶数，且，则没意义，即负数没有偶次方根；
④
∴
；
⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。 ∴
．
34、的次方根的性质
一般地，若是奇数，则
；
若是偶数，则________。
35、分数指数幂：
（1）正数的正分数指数幂的意义是
；
（2）正数的负分数指数幂的意义是
＝ ．
36、分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
即
(1) 
(2) 
(3) 
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
十二、指数函数：
37、指数函数定义： 一般地，函数
（且
）叫做指数函数，其中是自变量。
38、指数函数在底数
及
这两种情况下的图象和性质：
图象
性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点( ， ) ，
当
时，_____；
当
时，_____；
越___，图象越靠近_________
（3）过点( ， ) ，
当时，_____；
当时，_____；
越___，图象越靠近_________
（4）单调性：在 上是 函数
（4）单调性：在 上是 函数
十三、对数
39、对数定义：一般地，如果（
）的
次幂等于N, 就是
，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作 
，a叫做对数的底数，N叫做真数。
即
。
说明：1．在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数）
2．对任意 且 , 都有 
∴
_______，
_______．
3．如果把中的写成
， 则有 
__________（对数恒等式）．
4．两种特殊的对数：
①常用对数：以10作底 
写成 
②自然对数：以
作底为无理数，= 2.71828…… ， 
写成 
．
40、对数的运算性质：
如果 a > 0 ， a ¹ 1， M > 0 ，N > 0，那么 （1）
；
（2）
；
（3）
．
41、换底公式：
( a > 0 , a ¹ 1 ；
)
说明：两个较为常用的推论：
（1）
____； （2）
（、
且均不为1）．
十四、对数函数
42、对数函数的定义：一般地，函数 
叫做对数函数，其中是自
变量。
43、对数函数在底数及这两种情况下的图象和性质列表：
图
象
性
质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点（ ， ），
当
时，_____；
当
时，_____；
越___，图象越靠近_________
（3）过点（ ， ），
当时，_____；
当时，_____；
越___，图象越靠近_________
（4）单调性：在______上是 函数
（4）单调性：在______上是 函数