例1、            不等式 

错误解法 

错误分析  当时，真数且在所求的范围内（因 ），说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。

正确解法  

例2、            求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。

错误解法  设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为

，消去得：

整理得  直线与抛物线仅有一个交点，

解得所求直线为

错误分析  此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

正确解法  当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。

当所求直线斜率为零时，直线为平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。

设所求的过点的直线为则

，    令解得所求直线为

综上，满足条件的直线为：

(2)      判断的训练

造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。

①注意定理、公式成立的条件

数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。

例3、            实数，使方程至少有一个实根。

错误解法  方程至少有一个实根，

或

错误分析  实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。

正确解法  设是方程的实数根，则

由于都是实数，

解得 

例4  已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程。

错解1 

故所求的双曲线方程为

错解2  由焦点知

故所求的双曲线方程为

错解分析  这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。

正解1  设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知

整理得                      

正解2  依题意，设双曲线的中心为

则       解得 

所以 

故所求双曲线方程为 

②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用

我们知道：

如果成立，那么成立，即，则称是的充分条件。

如果成立，那么成立，即，则称是的必要条件。

如果，则称是的充分必要条件。

充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。

例5  解不等式

错误解法  要使原不等式成立，只需

    解得

错误分析  不等式成立的充分必要条件是：或

原不等式的解法只考虑了一种情况，而忽视了另一种情况，所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的实质，是把充分条件当成了充分必要条件。

正确解法  要使原不等式成立，则

或

，或

原不等式的解集为

例6（轨迹问题）求与轴相切于右侧，并与

⊙也相切的圆的圆心

的轨迹方程。

错误解法  如图3－2－1所示，

已知⊙C的方程为

设点为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与轴相切于M点，

与⊙C相切于N点。根据已知条件得

，即

化简得     

错误分析  本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是

。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。

③防止以偏概全的错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

例7  设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.

错误解法 

错误分析  在错解中，由

时，应有在等比数列中，是显然的，但公比完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。

正确解法  若，则有

但，即得与题设矛盾，故.

又依题意 

可得        

即

因为，所以所以

所以     

说明  此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

④避免直观代替论证

我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，如果完全以图形的直观联系为依据来进行推理，这就会使思维出现不严密现象。

例8  （如图3－2－2），具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程。

错误解法  依题意，可知曲线是抛物线，

在内的焦点坐标是

因为二面角等于，

且所以

设焦点在内的射影是，那么，位于轴上，

从而

所以所以点是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。

所以曲线在内的射影的曲线方程是

错误分析  上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为

。

正确解法  在内，设点是曲线上任意一点

（如图3－2－3）过点作，垂足为，

过作轴，垂足为连接，

则轴。所以是二面角

的平面角，依题意，.

在

又知轴（或与重合），

轴（或与重合），设，

则   

因为点在曲线上，所以

即所求射影的方程为  

(3)   推理的训练

数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。

例9  设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程。

错误解法  依题意可设椭圆方程为

则    ，

所以    ，即 

设椭圆上的点到点的距离为，

则   

所以当时，有最大值，从而也有最大值。

所以    ，由此解得：

于是所求椭圆的方程为

错解分析  尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当时，有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到的取值范围。事实上，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，应分类讨论。即：

若，则当时，（从而）有最大值。

于是从而解得

所以必有，此时当时，（从而）有最大值，

所以，解得

于是所求椭圆的方程为

例10  求的最小值

错解1 

错解2 

错误分析  在解法1中，的充要条件是

即这是自相矛盾的。

在解法2中，的充要条件是

这是不可能的。

正确解法1

其中，当

正 确 解 法2 取正常数，易得

其中“”取“＝”的充要条件是

因此，当