山东省兖州高补学校2009届高三模拟
2009年高补学校
数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ第（选择题）两部分，共1 50分，考试时间1 20分钟
第Ⅰ卷
选择题（本题共12个小题，每小题 5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有1个是正确的）
1．含有3个元素的集合既可表示为
，又可表示为
，则
的值是（ ）
A．1 B．
C．
D．
2．复数
是纯虚数，则
（ ）
A． B．
D．
3．给出如下三个命题：
①若“P且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若
且
，则
”的否命题为“若
且
，则
”；
③四个实数a、b、c、d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc；
④ 在
中，“
”是“
”的充分不必要条件。
其中不正确的合题的个数是 （ ）
A．4
B．
4．在棱长为2的正方体
中， 
是
的中点，则
到平面
的距离是（ ）
A． 
B．
C．
D．
5．已知函数
则二项式
展开式中数项是（ ）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
6．若
，则
大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．等差数列
的前
项和为
，若
…
则
等于（ ）
A．
B．
C．0 D．1
8．在如图所示的流程图中，若输入值分别为
则输出的
数为（ ）
 |
A．
B． 
C．
D．不确定
 |
9．如图，样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是 （ ）
10．曲线
和直线
在
轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为
…则
等于
A．
B．
C．
D．
11．已知抛物线
与双曲线
有相的焦点
，点
是两曲线的一个交点，且
轴，若
为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是 （ ）
A．
B． 
C．
D．
12．设函数
在定义域为
，如果对任意的
，存在唯一的
，便
（
为常数）成立，则称函数在上的均值为，给出下列四个函数：①
；②
③
；④
，则满足在其定义域上的均值为2的所有函数是 （ ）
A． ①② B． ③④ C．②④ D．①③
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上。
2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚。
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题纸上相应的横线上。
13．观察下列式子：
……，则可以猜想：当
时，有___________________。
14．已知二项式
的展开式中
项的系数与
的展开式中
项的系数相等，则
_________。
15．在三棱锥
中，侧棱
、
、
两两垂直，
、
、
的面积分别为
、
、
，则三棱锥的外接球的体积为_____________。
16．某同学在研究函数
时，分别给出下面几个结论：
①等式
在
时恒成立； ②函数
的值域为
③若
则一定有
； ④函数
在
上有三个零点。
其中正确结论的序号有_______________（请将你认为正确的结论的序号都填上）
三．解答题：本大题6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
且
（1）求角的大小；
（2）若向量
，向量
，求
的值。
18．（本小题满分12分）
有编号为1，2，3，…，
的个学生，入坐编号为1，2，3，…的个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为
，已知
时，共有6种坐法。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求随机变量的概率分布列和数学期望。
19．（本小题满分12分）
如图，在长方体
中
点
在棱上移动，小蚂蚁从点沿长方体的表
面爬到点，所爬的最短路程为
。
（1）求证：
（2）求的长度：
（3）在线段上是否存在点，使得三面角
的大小为
。若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由。
20．（本小题满分12分）
数列
的各项均为正数，前项和为
，对于
，总有
成等比数列，且
（1）求数列的通项公式：
（2）对任意给定的正整数
，作数列
，使
，且
…，
求
…
的值；
21．（本小题满分12分）
已知椭圆
的上、下焦点分别为
、
，点
为坐标平面内的动点，满足
（1）求动点的轨迹的方程：
（2）过点
作曲线
的两条切线，切点分别为
、
，求直线
的方程：
（3）在直线
上否存在点
，过该点作曲线的两条切线，切点分别为、，使得
，若存，求出该点的坐标；若不存在，试说明理由。
22．（本小题满分11分）
已知函数
，且对于任意实数
，恒有
（1）求函数的解析式；
（2）已知函数
在区间
上单调，求实数的取值范围；
（3）函数
有几个零点？
数学试卷（理科）
1―5：B D B B C 6―10：D C A D A 11―12：D D
二．填空题：
13．
14．
15．
16．①②③
三．解答题：
17．解：（1）∵
∴
………………………………2分
∴
，∴
或
∵
，∴
………………………………………………………………4分
（2）∵
∴
，即
又
∴
，即
②…………6分
由①②可得
∴
……………………………………………8分
又
，∴
…………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）∵当时，有
种坐法 ………………………………………………2分
∴
，即
或
（舍去） ∴
…………………………………4分
（Ⅱ）∵ 的可能取值是0，2，3，4，
又∵
……………………………………8分
∴的概率分布为：
0
2
3
4
……………10分
则
。 …………………………………12分
19．解：（1）证明：连结
，由长方体的性质可知：
平面，∴是
在平面内的射影。又∵
∴
∴
（三垂线定理）………………4分
（2）设
，∵四边形
是正方形，
∴小蚂蚁从点沿长方体的表面爬到点
可能
有两种途径，如图甲的最短路程为
如图乙的最短路?为
∵
∴
∴
∴
…………9分
（3）假设存在，平面
的法向量
设平面
的法向量
则
∴
………………………………………………………………………10分
由题意得：
解得：
或
（舍去）
即当点离为
时，三面角
的大小为。 …………………12分
20．解：（1）由
知，
所以
又
，所以
，
若为奇数，由得
。
若为偶数，则由
得
，所以。
综上所述，
………………………………………………………4分
（2）由于
……，
，
将以上各式左右两边分别对应相乘得到：
（2）设
的前项和为
，当
时，
∴
；（8分）
时，
，∴
（10分）
∴
∴
（12分）
21．解：（1）由题意知
，设
。由余弦定理得
（2分）
又
（4分）
当且仅当
时，
取最大值，此时
取最小值
令
，∵
，∴
。
故所求点的轨迹方程为
（6分）
（2）设
则由
可得
，
故
（8分）
∵、在动点的轨迹上，故
且
消去
得
，解得
，又
，
∴
，得解
。故
的取值范围是。
（12分）
22．解：（Ⅰ）
，令
，得
或
。 （2分）
当
时，
在上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，
而
，∴当
时，的值域是
。 （4分）
（Ⅱ）设函数
在
上的值域是A，
∵若对任意
,总存在
，使
，∴
（6分）
.
①当
时，
，
∴函数在
上单调递减，
∵
∴当时，不满足； （8分）
②当
时，
，
令
，得
或
（舍去）。
（9分）
（Ⅰ）当
时，
的变化如下表：
0
2
－
0
＋
0
∴
， ∵，
∴
，解得
。
（11分）
（Ⅱ）当
时，
∴函数在（0，2）上单调递减，
∵
∴当时，不满足.
（13分）
综上可知，实数的取值 范围是
.
（14分）