2006-2007学年度第一学期高三数学月考试卷
本试卷共150分 考试时间120分钟
一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡对应的位置上。
1. 已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则为( D )
A. {1,6} B. {4,5}
C. {1,2,3,4,5,7} D. {1,2,3,6,7}
解:集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},
,,则={1,2,3,6,7},选D.
2. 已知,则是( C )
A.第一象限角 B. 第二象限角
C. D. 第一或第二象限角
3. 设p、q为简单命题,则“p且q”为假是“p或q”为假的( B ).
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 当a>1时,函数y=logax和y=(1-a)x的图象只可能是( B )
解:当a>1时,函数y=logax的图象只能在A和C中选,又a>1时,y=(1-a)x为减函数.
答案:B
5. 集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},则( C )
A.M=N B.MÝN C.MÜN D.M∩N=
解:对M将k分成两类:k=2n或k=2n+1(n∈Z),
M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z},
对N将k分成四类,k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),
N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}.
答案:C
6. 已知定义在R上的奇函数满足,则的值为( B )
A. -1
B.
解:已知定义在R上的奇函数满足,
,周期T=4,又∵,
=,则=,选B.
7. 已知等差数列{a n}的前n项和为,若,则等于 ( A )
A.72 B.
解:由得,.
8. 已知函数f(x)=的反函数为,则<0的解集是( B )
A. B. C. D.
解:<0相当于原来函数的x<0,∴1<f(x)<2。
9. 设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,在x≤1时,f(x)=(x+1)2-1,则x>1时f(x)等于( B )
A.f(x)=(x+3)2-1 B.f(x)=(x-3)2-1
C.f(x)=(x-3)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1
解析:利用数形结合,x≤1时,
f(x)=(x+1)2-1的对称轴为x=-1,最小值为-1,又y=f(x)关于x=1对称,
故在x>1上,f(x)的对称轴为x=3且最小值为-1.
答案:B
10. 如果函数是偶函数,那么函数的一条对称轴是直线( D )
A. B. C. D.
解:∵关于x=0对称,∴2x=1,即。
11. 设,则函数的最小值是 ( C )
A.3 B.
解:≤1,∴。
12. 设二次函数f (x)=x2-x+a(a>0),若f (m)<0,则f (m-1)的值为( A )
A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能
解:∵f(x)=x2-x+a的对称轴为x=,且f(1)>0,则f(0)>0,而f(m)<0,
∴m∈(0,1), ∴m-1<0,∴f(m-1)>0.
答案:A
二、填空题:本大题 共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡对应的横线上。
13.
等差数列{a n}的前m项和为30, 前
解:∵{an}等差数列
, ∴ Sm,S
即2(S
∴S
14. 已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,sin2α的值为________.
解法一:∵<β<α<,∴0<α-β<.π<α+β<,
∴
∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
解法二:∵sin(α-β)=,cos(α+β)=-,
∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)=-
sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)=-
∴sin2α=.
15. 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长
解析:t=+16×()2/V=+≥2=8.
答案:8
解: 。
三、解答题:本大题 共6小题,共74分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)已知为第二象限的角,,为第一象限的角,.求的值.
解:∵a为第二象限角,,∴???????????? 3分
,?????????????????????? 6分
∵b为第一象限角,,∴,???????? 9分
∴ = 。?????????????????????? 12分
18. (本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且对任意正自然数n,总有
Sn=p(a n-1)(p为常数且p≠0,p≠1),数列{b n}中,b n=2n+q(q为常数).
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若a1=b1,a2>b2,求常数p的取值范围.
解:(1)当n=1时,a1=S1=p(a1-1),
∴p≠1,∴a1=.
当n≥2时,,
∵p≠1,∴=. ???????????????????? 4分
∵p≠0,a1≠0,∴≠0,故=.
∴{}是首项a1=,公比q=的等比数列.
∴=. ???????????????????????? 7分
(2)由条件有2+q=,且4+q<()2,
消去q,得2+<()2,
解得<p<1或1<p<2,故所求常数p的取值范围为(,1)(1,2). 12分
19. (本小题满分12分)已知是关于X的方程的两个实根,,求的值。
,,此时??????? 3分
??????????? 6分
???????????????????? 9分
。????? 12分
20. (本小题满分14分)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f();②当x∈(-1,0)时,有f(x)>0。
⑴求的值;
⑵判断函数的奇偶性并给予证明;
⑶证明在(-1,0)上是单调递减函数;
⑷求证:.
证明:⑴对f(x)+f(y)=f()中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,??? 2分
⑵再令y=-x,又得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),
∴f(x)在x∈(-1,1)上是奇函数. ?????????????????????? 5分
⑶设-1<x1<x2<0,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(),
∵-1<x1<x2<0,∴x1-x2<0,1-x1x2>0.∴<0,
于是由②知f()>0,
从而f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在x∈(-1,0)上是单调递减函数. ???????????????? 8分
⑷根据奇函数的图象关于原点对称,知
f(x)在x∈(0,1)上仍是递减函数,且f(x)<0.
??????????????? 11分
。?????????????? 14分
21. (本小题满分12分)已知数列的各项均为正数,且=6,点在抛物线上;数列中,点在直线上。
⑴求数列、的通项公式;
⑵对任意正整数n,不等式成立,求正数a的取值范围。
解:⑴由已知得,∴
同理,???????????????????????? 4分
⑵
记
则
∴,即递增,
故
∴。?????????????????????????? 12分
22. (本小题满分12分)已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体:①f(x)在其定义域上是单调增函数或单调减函数;②在f(x)的定义域内存在区间[a,b],使得f(x)在[a,b]上的值域是[a,b].(1)判断函数y=-x3是否属于集合M?并说明理由.若是,请找出区间[a,b].(2)若函数y=+t∈M,求实数t的取值范围.
解:(1)y=-x3的定义域是R,
y'=-3x2≤0,∴y=-x3在R上是单调减函数.
则y=-x3在[a,b]上的值域是[-b3,-a3].
由 解得:或 (舍去)或 (舍去)
∴函数y=-x3属于集合M,且这个区间是[-,]??????????? 6分
(2)设g(x)=+t,则易知g(x)是定义域[1,+∞]上的增函数.
g(x)∈M,∴存在区间[a,b][1,+∞],满足g(a)=a,g(b)=b.
即方程g(x)=x在[1,+∞]内有两个不等实根.
[法一]:方程+t=x在[1,+∞]内有两个不等实根,等价于方程x-1=(x-t)2在[2t,+∞]内有两个不等实根.
即方程x2-(4t+4)x+4t2+4=0在[2t,+∞]内有两个不等实根.
根据一元二次方程根的分布有
解得0<t≤.
因此,实数t的取值范围是0<t≤.
[法二]:要使方程+t=x在[1,+∞]内有两个不等实根,
即使方程=x-t在[1,+∞]内有两个不等实根.
如图,当直线y=x-t经过点(1,0)时,t=,
当直线y=x-t与曲线y=相切时,
方程=x-t两边平方,得x2-(4t+4)x+4t2+4=0,由△=0,得t=0.
因此,利用数形结合得实数t的取值范围是0<t≤.??????????? 12分