天津市汉沽一中2008~2009届第六次月考数学(文)试题
2009年1月
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分,满分150分.考试用时120分钟.
参考公式: , 其中是锥体的底面积,是锥体的高.
一、选择题(共10小题,每题5分)
1.已知复数,,则在复平面上对应的点位于( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
2.有3张奖券,其中2张可中奖,现3个人按顺序依次从中抽一张,小明最后抽,则他抽到中奖券的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
3.已知命题,命题的解集是,下列结论:
①命题“”是真命题; ②命题“”是假命题;
③命题“”是真命题; ④命题“”是假命题
其中正确的是( )
(A)②③ (B)①②④ (C)①③④ (D)①②③④
4.已知,则( )
(A)2 (B)-2 (C)0 (D)
5.有解的区域是( )
(A) (B) (C) (D)
6.已知向量,,若向量,则( )
(A) (B) (C) (D)2
7.已知两点,点是圆上任意一点,则面积的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)
8. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关性作试验,并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如下表:
甲
乙
丙
丁
0.82
0.78
0.69
0.85
115
106
124
103
则哪位同学的试验结果体现、两变量更强的线性相关性?( )
甲 乙 丙 丁
9.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为( )
(A)1 (B)
(C) (D)
10.已知抛物线,过点)作倾斜角为的直线,若与抛物线交于、两点,弦的中垂线交轴于点,则线段的长为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(共4小题,每小题5分)
11.已知集合,使的集合B的个数是_________.
12.在约束条件下,目标函数的最大值为_____________.
13.在中,若,则的外接圆半径,将此结论拓展到空间,可得出的正确结论是:在四面体中,若两两垂直,,则四面体的外接球半径____________.
14.在如下程序框图中,输入,则输出的是__________.
三、解答题(共6小题,共80分)
15.(本题满分12分)在中,是三角形的三内角,是三内角对应的三边,已知.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求角的大小.
16.(本题满分12分)已知,.
(Ⅰ)当时,求证:在上是减函数;
(Ⅱ)如果对不等式恒成立,求实数的取值范围.
17.(本题满分14分)如图所示,在棱长为2的正方体中,、分别为、的中点.
(Ⅰ)求证://平面;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
18.(本题满分14分)某养殖厂需定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料200公斤,每公斤饲料的价格为1.8元,饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.
(Ⅰ)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小;
(Ⅱ)若提供饲料的公司规定,当一次购买饲料不少5吨时其价格可享受八五折优惠(即原价的85%).问该厂是否考虑利用此优惠条件,请说明理由.
19.(本题满分14分)观察下面由奇数组成的数阵,回答下列问题:
(Ⅰ)求第六行的第一个数.
(Ⅱ)求第20行的第一个数.
(Ⅲ)求第20行的所有数的和.
20.(本题满分14分)如图,在直角梯形中,,,,椭圆以、为焦点且经过点.
(Ⅰ)建立适当的直角坐标系,求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点满足,问是否存在直线与椭圆交于两点,且?若存在,求出直线 与夹角的正切值的取值范围;若不存在,请说明理由.
天津市汉沽一中2008~2009届第六次月考数学(文)试题
答案及评分标准
DCDBB DADDA
题号
11
12
13
14
答案
8
2
二、填空题
三、解答题
15.解:(Ⅰ)在中, 且
, …………6分
(Ⅱ)由正弦定理,又,故…………8分
即: 故是以为直角的直角三角形……………10分
又∵ , ∴ …………………………12分
16.解:(Ⅰ)当时, ……………1分
∵ ………………2分
……………3分
∴在上是减函数 …………4分
(Ⅱ)∵不等式恒成立
即不等式恒成立
∴不等式恒成立 …………………6分
当时, 不恒成立 ……………7分
当时,不等式恒成立 ……………8分
即
∴ …………………10分
当时,不等式不恒成立… … …… 11分
综上所述,的取值范围是 … … … …12分
17.证明:(Ⅰ)连结,在中,、分别为,的中点,则
……………4分
(Ⅱ)
…………9分
(Ⅲ)
且
,………10分
∴
即 …………………12分
=
= ………………14分
18.解:(Ⅰ)设该厂应隔天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为…1分
∵饲料的保管与其它费用每天比前一天少200×0.03=6(元),
∴天饲料的保管与其它费用共是
………………4分
从而有 …………5分
………………7分
当且仅当,即时,有最小值………………8分
即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.
(Ⅱ)若厂家利用此优惠条件,则至少25天购买一次饲料,设该厂利用此优惠条件,每隔天()购买一次饲料,平均每天支付的总费用为,则
……………10分
∵
∴当时,,即函数在上是增函数…………12分
∴当时,取得最小值为,而 ……………13分
∴该厂应接受此优惠条件 ……………14分
19.解:(Ⅰ)第六行的第一个数为31 ……………2分
(Ⅱ)∵第行的最后一个数是,第行共有个数,且这些数构成一个等差数列,设第行的第一个数是 ……………5分
∴ ……………7分
∴ …………9分
∴第20行的第一个数为381 ……………10分
(Ⅲ)第20行构成首项为381,公差为2的等差数列,且有20个数
设第20行的所有数的和为 ………………12分
则 ……………14分
20.解:(Ⅰ)如图,以所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立直角坐标系
则,,, ………2分
设椭圆方程为
则
解得………………4分
∴所求椭圆方程为 …………………5分
(Ⅱ)由得点的坐标为
显然直线 与轴平行时满足题意,即 …………6分
直线 与轴垂直时不满足题意
不妨设直线 ……………7分
由 得 ………9分
由 得 ………10分
设,,的中点为
则, ………11分
∵
∴
∴ 即
解得: ………………12分
由 得 且 …………13分
故直线 与夹角的正切值的取值范围是 ……………14分