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在中,满足,是边上的一点.
(Ⅰ)若,求向量与向量夹角的正弦值;
(Ⅱ)若,=m (m为正常数) 且是边上的三等分点.,求值;
(Ⅲ)若且求的最小值。
【解析】第一问中,利用向量的数量积设向量与向量的夹角为,则
令=,得,又,则为所求
第二问因为,=m所以,
(1)当时,则=
(2)当时,则=
第三问中,解:设,因为,;
所以即于是得
从而
运用三角函数求解。
(Ⅰ)解:设向量与向量的夹角为,则
令=,得,又,则为所求……………2分
(Ⅱ)解:因为,=m所以,
(1)当时,则=;-2分
(2)当时,则=;--2分
(Ⅲ)解:设,因为,;
所以即于是得
从而---2分
==
=…………………………………2分
令,则,则函数,在递减,在上递增,所以从而当时,
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在中,,分别是角所对边的长,,且
(1)求的面积;
(2)若,求角C.
【解析】第一问中,由又∵∴∴的面积为
第二问中,∵a =7 ∴c=5由余弦定理得:得到b的值,然后又由余弦定理得:
又C为内角 ∴
解:(1) ………………2分
又∵∴ ……………………4分
∴的面积为 ……………………6分
(2)∵a =7 ∴c=5 ……………………7分
由余弦定理得:
∴ ……………………9分
又由余弦定理得:
又C为内角 ∴ ……………………12分
另解:由正弦定理得: ∴ 又 ∴
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①对于任意正实数a,b,∵(
a |
b |
ab |
ab |
只有当a=b时,等号成立.
②结论:在a+b≥2
ab |
p |
只有当a=b时,a+b有最小值2
p |
(Ⅱ)结论运用:根据上述内容,回答下列问题:(提示:在答题卡上作答)
①若m>0,只有当m=
1 |
m |
②若m>1,只有当m=
8 |
m-1 |
(Ⅲ)探索应用:
学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池,并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路(如图).问游泳池的长和宽分别为多少米时,共占地面积最小?并求出占地面积的最小值.