14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

(1) 给出直线的方向向量或；

(2)给出与相交,等于已知过的中点;

(3)给出,等于已知是的中点;

(4)给出,等于已知与的中点三点共线;

(5) 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.

(6) 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

(7) 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,

(8)给出,等于已知是的平分线/

(9)在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

(10) 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

(11)在中，给出，等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点)；

(12) 在中，给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点)；

(13)在中，给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点)；

(14)在中，给出等于已知通过的内心；

(15)在中，给出等于已知是的内心(三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点)；

(16) 在中，给出,等于已知是中边的中线;

13．动点轨迹方程：

(1)求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

(2)求轨迹方程的常用方法：

①直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．(答：或)；

②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M(m，0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　 (答：)；　

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60⁰，则动点P的轨迹方程为　　　　　　　　　 (答：)；(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ (答：)；(3) 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为　　　 (答：双曲线的一支)；

④代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________(答：)；

⑤参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程)。如(1)AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。(答：)；(2)若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____(答：)；(3)过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________(答：)；

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆的左、右焦点分别是F₁(－c，0)、F₂(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足(1)设为点P的横坐标，证明；(2)求点T的轨迹C的方程；(3)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由. (答：(1)略；(2)；(3)当时不存在；当时存在，此时∠F₁MF₂＝2)

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

12．你了解下列结论吗？

(1)双曲线的渐近线方程为；

(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数，≠0)。如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______(答：)

(3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为，焦准距(焦点到相应准线的距离)为，抛物线的通径为，焦准距为；

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦；

(6)若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②

(7)若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。如(1)如果椭圆弦被点A(4，2)平分，那么这条弦所在的直线方程是　　　　 (答：)；(2)已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______(答：)；(3)试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称(答：)；

特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

10、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如(1)过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)两点，若x₁+x₂=6，那么|AB|等于_______(答：8)；(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______(答：3)；

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；(2)设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；(3)设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；(4)若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。　　　　　　　　　　　　　　　

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ①＝，且当即为短轴端点时，最大为＝；②，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：①；②。如(1)短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________(答：6)；(2)设P是等轴双曲线右支上一点，F₁、F₂是左右焦点，若，|PF₁|=6，则该双曲线的方程为　　　　　 (答：)；(3)椭圆的焦点为F₁、F₂，点P为椭圆上的动点，当·<0时，点P的横坐标的取值范围是　　　　　　　　　 (答：)；(4)双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F₁、F₂是它的左右焦点，若过F₁的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则＝__________(答：)；(5)已知双曲线的离心率为2，F₁、F₂是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程(答：)；

7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。如(1)已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____(答：)；(2)已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；(3)若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_____(答：)；(4)点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______(答：)；(5)抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______(答：2)；(6)椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______(答：)；

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

(1)相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如(1)若直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______(答：(-,-1))；(2)直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______(答：[1，5)∪(5，+∞))；(3)过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条(答：3)；

(2)相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；

(3)相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。

特别提醒：(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；(2)过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如(1)过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______(答：2)；(2)过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______(答：)；(3)过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有____条(答：3)；(4)对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是_______(答：相离)；(5)过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_______(答：1)；(6)设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答：等于)；(7)求椭圆上的点到直线的最短距离(答：)；(8)直线与双曲线交于、两点。①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？(答：①；②)；

5、点和椭圆()的关系：(1)点在椭圆外；(2)点在椭圆上＝1；(3)点在椭圆内