9.函数的周期性：⑴若对时恒成立,则 的周期为；

⑵若是偶函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；

⑶若奇函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；

⑷若关于点,对称,则的周期为；

⑸对时,或,则的周期为；

8.函数图象的几种常见变换

⑴平移变换：左右平移----“左加右减”(注意是针对而言)；上下平移----“上加下减”(注意是针对而言).

⑵翻折变换：；.

⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.

②函数与的图像关于原点成中心对称

③函数与的图像关于直线(轴)对称；函数与函数的图像关于直线(轴)对称；

④函数对时，或恒成立,则图像关于直线对称；

⑤若对时,恒成立,则图像关于直线对称；

⑥函数,的图像关于直线对称(由确定)；

7.函数的奇偶性和单调性

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵若是偶函数,那么；定义域含零的奇函数必过原点()；

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或；

注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个

(如定义域关于原点对称即可).

⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；

⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法，以及图像法和特值法(用于小题)等；

⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. (提醒：求单调区间时注意定义域)

如：函数的单调递增区间是.(答：)

函数的单调增区间是.(答：和)你能画出图像吗？

6.求函数解析式的常用方法：

⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法；

⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组；

(4)坐标转移法。

5.求值域常用方法:

①配方法(二次函数类)；②导数法(一般适用于高次多项式函数)；③换元法(特别注意新元的范围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法；⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；⑧判别式法(慎用)

4.求定义域:

使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负;

对数真数,底数且；如的解集：；单调增区间；

零指数幂的底数；

实际问题有意义；若定义域为,复合函数定义域由解出；若定义域为,则定义域相当于时的值域.

3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.

2.函数: 是特殊的映射.特殊在定义域和值域都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.

函数概念－函数图象－函数性态(定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、对称性、周期性)－特殊函数图象与性质－应用(内部应用、应用题)

1. 映射

①映射:是：⑴ “一对一或多对一”的对应；

⑵中元素必有象且中不同元素在中可以有相同的象；中元素不一定有原象(即象集).

②一一映射:： ⑴“一对一”的对应；⑵中不同元素的象必不同,中元素都有原象.

12．证明

⑴直接证明：综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

用分析法证明不等式的逻辑关系是：

分析法的思维特点是：执果索因；

分析法的书写格式： 要证明命题B为真，只需要证明命题为真，

从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……

这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。

综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，

用综合法证明不等式的逻辑关系是：

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

⑵反证法的步骤：

1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；

3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

高中数学基础知识归类

--献给2009年赣马高级中学高三考生