若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=

x2+2x  x＜0 2 ex     x≥0

，则f（x）的“姊妹点对”有（　　）个．

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

．
（1）证明：f（x）在R上单调增；
（2）判断f（x）与f（-x）的关系，若对任意的t∈[1，3]，不等式f（t²-2kt）+f（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

已知函数f(x)=

x2+x+a

x

(x≠0，a∈R)
（Ⅰ）当a＜0时，证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1，x2∈[0，

1

2

]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=4．
（I） 求f(

1

2

)及f(

1

4

)；
（II） 证明f（x）是周期函数；
（Ⅲ）若对任意x∈[0，

1

2

]，都有f（x）＞1，证明函数f（x）在[0，

1

2

]上为增函数．