3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。

2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。

1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

3.(1)略　 (2)4，(-2，2)

知识点四、圆与三角形的关系

重点：掌握确定圆的条件、三角形的外心、内心

难点：确定圆的条件、三角形的外心、内心等知识熟练运用

2．BE的度数为80°，EF的度数为50°．

3.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO=120°．

(1)求证：AB为⊙C直径．

(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标．

答案：1.(1) AC、AD在AB的同旁，如右图所示:

　　 ∵AB=16，AC=8，AD=8，

　　 ∴AC=(AB)，∴∠CAB=60°，

　　 同理可得∠DAB=30°，

　　 ∴∠DAC=30°．

　 (2)AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．

2．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求弧BE的度数和弧EF的度数．

4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆周角定理推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

例1．如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是(　 )

　　 A．4cm　　 B．6cm　　 C．8cm　　 D．10cm

解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2=d2+()2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．答案C

例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是(　 　)

A、60°　　 B、45°　　　 C、30°　　　 D、15°

解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A

例3、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．

　　 (1)由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

(2)若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

　　　　　　　　 (1)　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)

　 解题思路：(1)要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．

　　 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．

　　 解：(1)AB=CD

　　 理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F

　　 ∵∠APM=∠CPM

　　 ∴∠1=∠2

　　 OE=OF

　　 连结OD、OB且OB=OD

　　 ∴Rt△OFD≌Rt△OEB

　　 ∴DF=BE

　　 根据垂径定理可得：AB=CD

　　 (2)作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F

　　 ∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°

　 　∴Rt△OPE≌Rt△OPF

　　 ∴OE=OF

　　 连接OA、OB、OC、OD

　　 易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF

　　 ∴∠1+∠2=∠3+∠4

∴AB=CD

例4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

　 解题思路：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．

　　 解：BD=CD

　　 理由是：如图24-30，连接AD

　　 ∵AB是⊙O的直径

　　 ∴∠ADB=90°即AD⊥BC

　　 又∵AC=AB

　　 ∴BD=CD

练习

1： AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．

3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。