66.(2009宁夏海南卷文)(本小题满分12分)

已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个

焦点的距离分别是7和1

(1)求椭圆的方程‘

(2)若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，(e为椭圆C的离心率)，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解(1)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 　　　　　

{　 解得a=4,c=3, 　　　

所以椭圆C的方程为 　　　　　　

(Ⅱ)设M(x,y),P(x,),其中

由已知得

而，故　　　　　 　①

由点P在椭圆C上得 ， 　　　　　　

代入①式并化简得

所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段. 　　　　　　

65.(2009湖北卷文)(本小题满分13分)

如图，过抛物线y²＝2PX(P﹥0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，

自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M₁、N₁

(Ⅰ)求证：FM₁⊥FN₁:

(Ⅱ)记△FMM_1、、△FM₁N₁、△FN N₁的面积分别为S^1、、S^2、，S³，试判断S²₂＝4S₁S₃是否成立，并证明你的结论。 　　

(1)　　　 证明　 方法一 　由抛物线的定义得

如图，设准线l与x的交点为

而

即

故

方法二　 依题意，焦点为准线l的方程为

设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有

由　 得

于是，，

，故

(Ⅱ)解 　成立，证明如下：

方法一 　设，则由抛物线的定义得

，于是

将与代入上式化简可得 　　

，此式恒成立。

故成立。

方法二　 如图，设直线M的倾角为，

则由抛物线的定义得

于是

在和中，由余弦定理可得

由(I)的结论，得

即，得证。

64.(2009全国卷Ⅰ文)(本小题满分12分)

　如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。

(Ⅰ)求r的取值范围

(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。

解：(Ⅰ)将抛物线代入圆的方程，

消去，整理得

抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程(1)有两个不相等的正根

∴即。

解这个方程组得.

(II)设四个交点的坐标分别为、、、。

则由(I)根据韦达定理有，

则

令，则　　 下面求的最大值。

方法1：由三次均值有：

　当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。

方法2：设四个交点的坐标分别为、、、

则直线AC、BD的方程分别为

解得点P的坐标为。

设，由及(Ⅰ)得 　　

由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积

则将，

代入上式，并令，等

，

∴，

令得，或(舍去)

当时，；当时；当时，

故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，

故所求的点P的坐标为。 　

63.(2009四川卷文、理)(本小题满分12分)　　　　

已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。

(I)求椭圆的标准方程；

(II)过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。

解 (I)由已知得，解得　 　　　

∴

∴ 所求椭圆的方程为 .　　　　

(II)由(I)得、

①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得

设、，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴ ，这与已知相矛盾。

②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，

设、，

联立，消元得

∴　 ， 　　

∴　 ，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又∵

∴　

∴　

化简得

解得

∴　

∴　 所求直线的方程为　　

62.(2009陕西卷文)(本小题满分12分)

已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。 　　

(1)求双曲线C的方程；

(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。

方法一 解(Ⅰ)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线，

所以所以

由

所以曲线的方程是

(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线C的两条渐近线方程为

设

由

将P点的坐标代入

因为

又

所以

记

则

由

又S(1)=2，

当时，面积取到最小值，当当时，面积取到最大值

所以面积范围是

方法二(Ⅰ)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线，

由

所以曲线的方程是.

(Ⅱ)设直线AB的方程为

由题意知

由

由

将P点的坐标代入得

设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m)

=_.

61.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)

　已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 　　　　

解 (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得

， 　　

所以椭圆的标准方程为 　　　　

(Ⅱ)设，其中。由已知及点在椭圆上可得

。

整理得，其中。

(i)时。化简得 　　　

所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。

(ii)时，方程变形为，其中

当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；

60.(2009辽宁卷文、理)(本小题满分12分)

已知，椭圆C以过点A(1，)，两个焦点为(－1，0)(1，0)。

(1)　　　 求椭圆C的方程；

(2)　　　 E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 　　　　　

(Ⅰ)解 由题意，c＝1,可设椭圆方程为。 　　　　　

因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝(舍去)。

所以椭圆方程为　 ．　　 　　　　　　　

(Ⅱ)证明 　设直线AE方程：得，代入得 　　　　　

设E(，)，F(，)．因为点A(1，)在椭圆上，

所以， 　　　　　

。　　　　　　　　　　　

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得

， 　　　　　

。

所以直线EF的斜率。

即直线EF的斜率为定值，其值为。　　　　　　　　　　　 　

59.(2009福建卷理)(本小题满分13分)

已知A,B 分别为曲线C： +=1(y0,a>0)与x轴

的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上

异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；

(II)如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。　 　　　　　　　　　　　　　　　　

解 方法一

(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.

(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.

又AB=2,故在△SAE中,有

　(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,

(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SB为直线的圆上,故.

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.

由

设点

故,从而.

亦即

由得

由,可得即

经检验,当时,O,M,S三点共线.　　 故存在,使得O,M,S三点共线.

方法二:

(Ⅰ)同方法一.

(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SO为直径的圆上,故.

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为

由

设点,则有

故

由所直线SM的方程为

O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.

故存在,使得O,M,S三点共线.

58.(2009湖南卷文)(本小题满分13分)

　已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点

为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q).

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时，求直线的斜率的取值范围。

解 (Ⅰ)依题意，设椭圆C的方程为焦距为，

由题设条件知， 所以

故椭圆C的方程为　　 .

(Ⅱ)椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，

显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。　　　 　　　　　

　如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，

由得.　　　　　 ……①

由解得.　　 ……②

因为是方程①的两根，所以，于是

=，　　 .

因为，所以点G不可能在轴的右边，

又直线,方程分别为

所以点在正方形内(包括边界)的充要条件为

　即　 亦即　　　 　　　　　

解得，此时②也成立. 　　　

故直线斜率的取值范围是

57.(2009全国卷Ⅱ理)(本小题满分12分)

已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 　　　　　　

(I)求，的值；

(II)上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。

解 (I)设，直线，由坐标原点到的距离为

　则，解得 .又.

(II)由(I)知椭圆的方程为.设、

由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设

代入椭圆的方程中整理得，显然。

由韦达定理有：．．．．．．．．①

.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：

点，点P在椭圆上，即。

整理得。 　　　　　　　

又在椭圆上，即.

故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

将及①代入②解得

,=,即.

当;

当.