1.4.1曲边梯形的面积与定积分
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学习目标： 1.理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法；2.借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念； 3. 理解掌握定积分的几何意义. 学习难点重点： 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义 自主学习： 一、知识再现：导数的概念及应用  二、新课探究：提出问题 如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线  的一段，我们把由直线 和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？ 例题分析： 求图中阴影部分是由抛物线  ，直线 以及 轴所围成的平面图形的面积S. (1)．分割 在区间  上等间隔地插入 个点，将区间等分成 个小区间：  ， ，…， 记第 个区间为 ，其长度为 分别过上述 个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作： ， ，…， 显然，  (2)近似代替 记  ，如图所示，当很大，即 很小时，在区间 上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点 处的函数值 ，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边(如图)．这样，在区间上，用小矩形的面积 近似的代替 ，即在局部范围内“以直代取”，则有  ①(3)求和 由①，上图中阴影部分的面积  为 =  = =  = 从而得到  的近似值  (4)取极限 分别将区间 等分8，16，20，…等份(如图)，可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时， 趋向于，从而有 归纳总结： 求曲边梯形面积的四个步骤: 第一步：分割．在区间  中任意插入各分点，将它们等分成个小区间  ，区间的长度 ，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值． 第三步：求和． 第四步：取极限。 定积分的概念 一般地，设函数  在区间 上连续，用分点 将区间 等分成个小区间，每个小区间长度为( )，在每个小区间 上取一点 ，作和式： 如果 无限接近于 (亦即 )时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为： ，其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间， 积分上限， 积分下限。定积分的几何意义 如果在区间  上函数连续且恒有 ，那么定积分 表示由直线 ( )， 和曲线所围成的曲边梯形的面积。说明：一般情况下，定积分 的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号． 三、例题解析： 例．求  围成图形面积解：1．分割 在区间  上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：  ， ，…， 记第 个区间为 ，其长度为 分别过上述 个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，显然， (2)近似代替 ∵  ，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点 处的函数值 ，这样，在区间 上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有  ①(3)求和 由①，上图中阴影部分的面积 为 =  = =  =  从而得到 的近似值  (4)取极限  课堂巩固： 设S表示由曲线  ，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积，求S,并用定积分表示.归纳反思： 合作探究： 1.计算由两条抛物线  和所围成的图形的面积2..计算  的值 |
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