4．换元法

例4．求函数的值域

解：设 　则 t0 　x=1-

代入得

　　　　 ∵t0　　 ∴y4

3．判别式法(△法)：

判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论

例3．求函数的值域

方法一：去分母得　 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0　　 ①

当 y¹1时　 ∵xÎR　 ∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0

由此得 (5y+1)0

检验 　时　 (代入①求根)

∵2 Ï 定义域 { x| x¹2且 x¹3}　　 ∴

再检验 y=1 代入①求得 x=2　　 ∴y¹1

综上所述，函数的值域为 { y| y¹1且 y¹}

方法二：把已知函数化为函数 (x¹2)

　 由此可得 y¹1　 　　

∵ x=2时　 　　即

　 ∴函数的值域为 { y| y¹1且 y¹}

说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.

2．二次函数比区间上的值域(最值)：

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①；　　　 　　

　②；

③； 　④；

解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.

②∵顶点横坐标2[3,4]，

当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].

③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,

∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,

∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].

注：对于二次函数,

⑴若定义域为R时，

①当a>0时，则当时，其最小值；

②当a<0时，则当时，其最大值.

⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若[a,b],则是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时，再比较的大小决定函数的最大(小)值.

②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

1．直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；

反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；

二次函数的定义域为R，

当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.

例1．求下列函数的值域

① y=3x+2(-1x1)　　　 ②　　

③　 　　　　　④

解：①∵-1x1，∴-33x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]

②∵　　 ∴

即函数的值域是 { y| y2}

③　

　∵　　 ∴

　 即函数的值域是 { y| yÎR且y¹1}(此法亦称分离常数法)

④当x>0，∴=，

当x<0时，=－

∴值域是[2，+).(此法也称为配方法)

函数的图像为：

函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分(对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数)；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定

函数的表示方法⑴解析法优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.

⑵列表法优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.

⑶图象法：优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.

前面我们已经学习了函数定义域的求法和函数的表示法，今天我们来学习求函数值域的几种常见方法

思考：画出反映四种基本反应类型与氧化还原反应的关系图。

试题枚举

[例1]古诗词是古人为我们留下的宝贵的精神财富。下列诗句只涉及物理变化的是()。

A.　野火烧不尽，春风吹又生

B.　春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干

C.　只要功夫深，铁杵磨成针

D.　爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏

解析：选项A、B、D均涉及有关燃烧的知识，属于化学变化；“铁杵磨成针”只是发生了形变，属于物理变化。

答案：C

[例2]关于化学反应A+B＝C+D下列说法中正确的是(　 )。

　　　 A．若生成物C和D分别是盐和水，则反应物一定是酸和碱

　　　 B．若A和C是单质，B和D是化合物，则该反应一定是置换反应

　　　 C．若A是可溶性碱，B是可溶性盐，则C和D可能是两种沉淀

　 D．若A、B各取10g混合，使其充分反应，则C、D质量的总和一定等于20g

　解析：对一个概念作出判断应弄清它的含义，把握它的实质。B、C符合概念和反应规律，正确。A中由于生成盐和水的反应可以在多种物质类别间发生，如：碱和酸性氧化物，酸和碱性氧化物之间也都能生成盐和水。D中A、B各10g物质可能恰好反应完，也可能其中一种没有反应完，则生成物的总和应≤20g。

答案：B、C。

[例3]下列过程不涉及化学变化的是(　　 )

A．甘油加水作护肤剂

B．用明矾净化水

C．烹鱼时加入少量的料酒和食醋可减少腥味，增加香味

D．烧菜用过的铁锅，经放置常出现红棕色斑迹

解析：化学变化与物理变化的本质区别是：是否有新物质生成。甘油稀释后仍具有吸湿性，可做护肤品，该过程不涉及化学变化。

明矾溶于水后，发生反应：Al³⁺ + 3H₂O 　Al(OH)₃ + 3H⁺　 产生氢氧化铝胶体，从而可净化水。

烹鱼时加入少量的料酒和食醋可减少腥味，增加香味的原因是过程中发生了　 CH₃COOH + C₂H₅OH →CH₃COOC₂H₅+ H₂O ,产生了具有香味的乙酸乙酯的缘故。

烧菜用过的铁锅，由于在潮湿的环境中发生了电化腐蚀，Fe最终被氧化成Fe₂O₃•nH₂O而出现红棕色斑迹，后三者都是化学变化过程。

答案：A

5．　 从有无离子参加分为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4．　 根据反应程度分为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3．　 从热效应分为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．　 从有无电子转移分为：