. (本小题满分14分)

第21题

设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.

(1) 证明：无论P点在什么位置，总有||² = |·| ( O为坐标原点)；

(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；

（本小题满分14分）

        已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．

   （1）求椭圆C₁的方程；

   （2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；

   （3）设C_??2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C₂上，且 满足，

        求的取值范围．

（本小题满分14分）
已知中心在坐标轴原点O的椭圆C经过点A（1,），且点F（－1,0）为其左焦点.
（I）求椭圆C的离心率；
（II）试判断以AF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

（本小题满分14分）

设函数，其中．

( I )若函数图象恒过定点P，且点P在的图象上，求m的值；

(Ⅱ)当时，设，讨论的单调性；

(Ⅲ)在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，

使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

（本小题满分14分）已知、是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，点在椭圆上,线段与轴的交点满足；⊙O是以F₁F₂为直径的圆，一直线l：与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当且满足时，求△AOB面积S的取值范围.