86、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)在长方体中(如图)，==1，，点E是AB上的动点

(1)若直线，请你确定点的位置，并求出此时异面直线与所成的角

(2) 在(1)的条件下求二面角的大小

[解]解法1：由DE与CE垂直-----1分

　　　 设AE=x,在直角三角形DEC中求得-----2分

　　　　 所以点是AB的中点--------------3分

取CD的中点Q，则AQ平行与EC，所以是所求的角------4分

求解得=-------------5分

异面直线与EC所成的角为-------6分

解法2：利用向量法

　　　 分别以DA，DC，D所在的直线为X轴建立坐标系---------------------------------1分

　　 设AE=x，　 根据直线-----2分

所以点是AB的中点--------------3分

　　 写出A(1，0，0)　 E(1，1，0 ) C (0，2，0)　 (0，0，1)---------4分

设的夹角为　　 cos=----------------5分

异面直线与所成的角为-----------6分

(2)解法1：由DE与CE垂直，

所以是所求的平面角---8分

　　　 -------11分

二面角是--------12分

解法2：利用向量法求得二面角是

85、(山西大学附中2008届二月月考)如图，正三棱柱所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点

　 (1)求证：；

　 (2)求二面角的大小(用反三角函数表示)；

　 (3)求点到平面的距离.

(1)证明：建立如图所示， 　

∵　 　　

∴　　　 即AE⊥A₁D，　 AE⊥BD　 ∴AE⊥面A₁BD

(2)设面DA₁B的法向量为

由　 ∴取

设面AA₁B的法向量为 　，

由图可知二面角D-BA₁-A为锐角，∴它的大小为arcos 　

(3)，平面A₁BD的法向量取

则B₁到平面A₁BD的距离d=

84、 　 (山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F

为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

　 　(Ⅰ)求证：AE⊥平面BCE；

　 (Ⅱ)求二面角B-AC-E的余弦值；

　 (Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.

　 (Ⅳ)求证：平面BDF⊥平面ABCD

解法一：(Ⅰ)平面ACE.　 　

∵二面角D-AB-E为直二面角，且， 平面ABE.

(Ⅱ)连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

(Ⅲ)过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D-AB-E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，　

　 ∴点D到平面ACE的距离为

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O，OE所在直

线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行

于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系

O-xyz，如图.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中点，

　设平面AEC的一个法向量为，

则解得

　　　　 令得是平面AEC的一个法向量.

　　　　 又平面BAC的一个法向量为，

　　　　 ∴二面角B-AC-E的大小为

(III)∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

83、(山东省实验中学2008届高三第三次诊断性测试)如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．

　 (1)求证：平面；

　 (2)求直线与平面所成的角的大小；

　 (3)求二面角的大小．

解法一：(Ⅰ)∵四边形是正方形，

．　 ………………………1分

∵平面平面，又∵，

平面．　　　　　 ……………………2分

平面，．……………3分

平面．　　　　　　 ………………4分

　(Ⅱ)连结，

平面，

是直线与平面所成的角． ………5分

设，则

，，　 ………………………6分

， ．　

即直线与平面所成的角为…8分

(Ⅲ)过作于，连结．　 ……………………9分

平面，．平面．

是二面角的平面角． ……10分

∵平面平面，平面．

．

在中， ，有．

由(Ⅱ)所设可得

，，

．　 ………………10分

．．

∴二面角等于．　　　 ……………………12分

解法二: ∵四边形是正方形 ，，

∵平面平面，平面，　　 ………2分

∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，

分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空

间直角坐标系．

设，则

，

　　　　 是正方形的对角线的交点，

．……………4分

(Ⅰ)，，

，

，　 ……………………………………4分

平面．　 ………………5分

(Ⅱ) 平面，为平面的一个法向量，…………6分

，．……………7分

．∴直线与平面所成的角为．　 ……8分

(Ⅲ) 设平面的法向量为，则且，

且．

　　　 即

取，则， 则．………………10分

又∵为平面的一个法向量，且，

，设二面角的平面角为，则，．∴二面角等于．…12分

82、(山东省聊城市2008届第一期末统考)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.

　 (1)求证：AM//平面BDE；

　 (2)求二面角A-DF-B的大小.

(1)解：记AC与BD的交点为O，连接OE………………1分

∵O，M分别是AC、EF的中点，且四边形ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，

∴AM//OE，

　 又OE平面BDE，AM平面BDE，

∴AM//平面BDE.……………………4分

　 (2)在平面AFD中过A作AS⊥DF，垂足为S，连接BS，

∵AB⊥AF，AB⊥AD，ADAF=A，

∴AB⊥平面ADF.…………………………6分

又DF平面ADF，

∴DF⊥AB，又DF⊥AS，ABAS=A，

∴DF⊥平面ABS.

又BS平面ABS，

∴DF⊥SB.

∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角.……………………8分

在Rt△ASB中，AS

∴

∴∠ASB=60°.……………………………………10分

(本题若利用向量求解可参考给分)

81、(山东省济南市2008年2月高三统考)如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．

(1)证明：EF∥面PAD；

(2)证明：面PDC⊥面PAD；

(3)求锐二面角B-PD-C的余弦值．

解：(1)如图，连接AC，

∵ABCD为矩形且F是BD的中点，

∴AC必经过F　 　　　　　　　　　　　　　　　 1分

又E是PC的中点，

所以，EF∥AP　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

∵EF在面PAD外，PA在面内，

∴EF∥面PAD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，

又AP面PAD，∴AP⊥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)由P作PO⊥AD于O，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，则

A(1，0，0)，P(0，0，1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

由(2)知是面PCD的法向量，B(1，1，0)，D(一1，0，0)，

，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

设面BPD的法向量，

由得

取，则，

向量和的夹角的余弦　　　　　　　 11分

所以，锐二面角B-PD-C的余弦值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

80、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M.

　 (Ⅰ)求PB与平面ABCD所成角的大小；

　 (Ⅱ)求证：PB⊥平面ADMN；

　 　 (Ⅲ)求以AD为棱，PAD与ADMN为面的二面角的大小.

(I)解：取AD中点O，连结PO，BO.

　　　　 △PAD是正三角形，所以PO⊥AD，…………1分

　　　　 又因为平面PAD⊥平面ABCD，

　　　　 所以，PO⊥平面ABCD，　　　　　 …………3分

　　　　 BO为PB在平面ABCD上的射影，　　　　　　　

　　　　 所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角.…………4分

　　　　 由已知△ABD为等边三角形，所以PO=BO=，

　　　　 所以PB与平面ABCD所成的角为45°.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………5分

　 (Ⅱ)△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB，　　　　　 ………………6分

　　　　 又，PA=AB=2，N为PB中点，所以AN⊥PB，　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………8分

　　　　 所以PB⊥平面ADMN.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………9分

　 (Ⅲ)连结ON，因为PB⊥平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影，

　　　　 因为AD⊥PO，所以AD⊥NO，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………11分

　　　　 故∠PON为所求二面角的平面角.

　　　　 因为△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，所以∠PON=45°……………12分

79、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.

　 (Ⅰ)求证：平面；　 　　

(Ⅱ)求到平面的距离；

　 (Ⅲ)求二面角的大小.

　解法：(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,

又,∴平面, 得,又,

∴平面.…………………4分

(Ⅱ)∵,四边形为菱形,故,

又为中点,知∴.取中点,则

平面,从而面面,…………6分

过作于,则面,在中,,故,即到平面的距离为.…………………8分

　 (Ⅲ)过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,,∴,…………10分

在中,,故二面角的大小为.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………12分

　 解法：(Ⅰ)如图,取的中点,则,∵,∴,

又平面,以为轴建立空间坐标系, …………1分

则,,,,,,

,,由,知,

又,从而平面.…………………4分

　 (Ⅱ)由,得.设平面的法向量

为,,,,

设,则.…………6分

∴点到平面的距离.…………………8分

　 (Ⅲ)设面的法向量为,,,

∴.…………10分

设,则,故,根据法向量的方向

可知二面角的大小为.…………………12分

78、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)如图已知在三棱柱ABC--A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中点．

(1)求证：面PCC₁⊥面MNQ；

(2)求证：PC₁∥面MNQ．

主要得分步骤：(1)AB⊥面PCC₁；　 　　　　　　　　　　　　　　4′

MN∥AB，故MN⊥面MNQ　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　

MN在平面MNQ内，∴面PCC₁⊥面MNQ；　　　　　　　　　　　　　 7′

(2)连AC₁、BC₁，BC₁∥NQ，AB∥MN

面ABC₁∥面MNQ　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　11′

PC₁在面ABC₁内．

∴PC₁∥面MNQ．　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　13′

77、(江苏省泰兴市2007-2008学年第一学期高三调研)已知等腰梯形PDCB中(如图1)，PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD(如图2).

　 (Ⅰ)证明：平面PAD⊥PCD；

　 (Ⅱ)试在棱PB上确定一点M，使截面AMC

把几何体分成的两部分；

　 (Ⅲ)在M满足(Ⅱ)的情况下，判断直线PD

是否平行面AMC.

(I)证明：依题意知：

　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

　　　 …4分

　 (II)由(I)知平面ABCD

　　　　 ∴平面PAB⊥平面ABCD.　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

　 　 在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，

　　　　 设MN=h

　　　　 则

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 …………8分

　　　　 要使

　　　　 即M为PB的中点.　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

　 (Ⅲ)连接BD交AC于O，因为AB//CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD

∴O不是BD的中心……………………10分

又∵M为PB的中点

∴在△PBD中，OM与PD不平行

∴OM所以直线与PD所在直线相交

又OM平面AMC

∴直线PD与平面AMC不平行.……………………15分