2．2 ．2、电动势与电功率

(1)电源有保持两极间有一定电压的作用，不同种类的电源，保持两极间有一定电压的本领不同。例如：干电池可保持正、负极间有V的电压；常用的铅锌蓄电池可保持两极间有V的电压。为了表征电源的这种特性，物理学上引入了电动势这个物理量，电源的电动势在数值上等于电源没有接入外电路时两极间的电压。将理想表直接接在电源的两极上测出的电压就是电源的电动势。

(2)电流通过一段路时，自由电荷在电场力作用下发生定向移动，电场力对自由电荷作功。电流在一段电路上所做的功W，等于这段电路两端的电压U、电路中电流I和通电时间t三者的乘积。即

单位时间内电流所做功叫做电功率，用P表示电功率，则。

§2.3、电学基本定律

2．2 ．1、电路连接与电表改装

(1)串、并联电路的性质

串联电路通过各电阻电流相同，总电压为各电阻两端电压之和，电压的分配与电阻成正比，功率的分配也与电阻成正比，即

串联电路总电阻

并联电路各电阻两端电压相同，总电流为通过各支路电流之后，电流的分配与电阻成反比，功率的分配亦与电阻成反比，即

总电阻：

(2)电表改装

①欲将满偏电流为，内阻为的电流表改装为量程为U的电压表，需将分压电阻R和电流表串联，如图2-2-1所示，所谓量程为U时，就是当电压表两端的电压为U时，通过电流表的电流为，电流表分担的电压为。根据串联电路的规律有

即　　　　　

电压表内阻　　

通常，都很大，理想情况下可认为。

②欲将内阻为，满偏电流为的电流表改装为量程为I的电流表时，需将分流电阻R和电流表并联，如图2-2-2所示。同理可推得

通常，R很小，可认为电流表内阻，理想情况下可认为。

③将电流表改装成欧姆表

简易欧姆表接法示意图如图2-2-3所示，为调零电阻，表头内阻为，满偏刻度为。测量前，应先将两表笔短接，调节使流过表头的电流为，若电池的电动势为，内阻为，则

如果在两表笔间接一电阻，则电流减半，指针指表盘中央，因此，称为“中值电阻”，表盘最左刻度对应于，最右边刻度对应于，对于任一阻值，若

得　　

这就是欧姆表的刻度原理，如欧姆表的中值电阻，表盘满偏处的刻度为，表盘满偏处的刻度为，如图2-2-4所示。

欧姆表的量程改变后，各刻度所对应的电阻值应乘以相同倍率，另外要注意，凡使用欧姆表，必须进行机械调零和欧姆调零，并且，换档后一定要重新进行欧姆调零。

④将电流表改装成交流电压表

交流电压表是直流电压表的基础上改装而成的，在直流电压表上串联一个二极管，就组成交流电压表。串联二极管后，电表显示的是交流电的平均值(它等于有效值的0.45倍)。用U代表某一量程的交流电压有效值，若不考虑二极管正向电阻值，则限流电阻计算公式为

实验指出，二极管是一且非线性元件，它的伏安特性为一条弯曲的图线，如图2-1-5所示，当二极管的正向电阻后，限流电阻R与交流电压U之间的关系不再是线性的。因此，最大量程的交流电压表的表盘刻度是不均匀的，如采用J0411型多用电表测量2.5V以下的交流电压时，要使用表盘上第三条刻度线，它的起始段刻度很密，刻度是不均匀的。这一点，从图2-2-5中可以看得很清楚，在二极管两端电压小于的一段图线上，相同的电压变化(例如V)所对应的电流是不同的：顺次分别为mA、mA、mA、mA。

2.　 1 ．3、电流密度和电场强度的关系

通电导体中取一小段长，其两端电压，则有：

得到　　　　　　　　

上式给出了电流密度与推动电荷流动的电场之间的对应关系，更细致地描述了导体的导电规律，被称为欧姆定律的微分形式。

①对于金属中的电流，上式中的还可有更深入的表示。

当金属内部有电场时，所有自由电子都将在原有的热运动的基础上附加一个逆场强的定向运动，就是所有电子的这种定向运动形成宏观电流。

由于与晶体点阵的碰撞，自由电子定向速度的增加受到限制。电子与晶体点阵碰撞后散射的速度沿各个方向几率相等，这样电子定向运动特征完全丧失，其定向速度为0。这样电子在电场力的作用下从零开始作匀加速运动，设两次碰撞之间的平均时间为，平均路程为，则电子定向运动平均速度。

而，是电子热运动的平均速率。所以

下面我们看电流密度矢量与电子定向运动平均速度的关系。在金属内部，在与垂直方向取一面积为的面元，以为底，为高作一个柱体。设单位体积内自由电子数为n，则单位时间内柱体内的所有为由电子能穿过面而形成电流，面上任一点的电流密度：

的方向以正电荷运动方向为准，电子带负电，的方向与的方向相反

代入，我们得到

对于一定的金属导体，在一定温度下，是一定的，与欧姆定律的微分形式相比，金属的电导率为

②对于导电液体，同样有更细微的表达式。

能够导电的液体称为电解液。电解液中能自由移动的带电粒子是正、负离子。在没有外电场时，正负离子作无规则的热运动。在有外场作用时，液体中正负离子定向移动形成宏观电流，正、负离子的平均定向速度(以称迁移速度)和与所加的电场成正比。若单位体积内有n对正负离子，每个离子带电量q，考虑到负电荷的运动等效于等量的正电荷反方向的运动，则所研究面元的电流密度大小为

定义单位场强下的迁移速度为迁移率，分别用和表示

则　　

对于一定浓度的某一种电解液，均为恒量，液体导电仍满足欧姆定律。

§2、2电路

2．1 ．2、电阻定律导体的电阻为

式中、称为导体电阻率、电导率，由导体的性质决定。

实验表明，多数材料的电阻率都随温度的升高而增大，在温度变化范围不大时，纯金属的电阻率与温度之间近似地有如下线性关系

为0℃时电子率，为时电阻率，为电阻率的温度系数，多数纯金属值接近于℃，而对半导体和绝缘体电阻率随温度 的升高而减小。某些导体材料在温度接近某一临界温度时，其电阻率突减为零，这种现象叫超导现象。

超导材料除了具有零电阻特性外，还具有完全抗磁性，即超导体进入超导状态时，体内磁通量被排除在体外，可以用这样一个实验来形象地说明：在一个浅平的锡盘中，放入一个体积很小但磁性很强的永磁铁，整个装置放入低温容器里，然后把温度降低到锡出现超导电性的温度。这时可以看到，小磁铁竟然离开锡盘表面，飘然升起与锡盘保持一定距离后，悬在空中不动了，如图2-2-1所示。这是由于超导体的完全抗磁性，使小磁铁的磁感线无法穿透超导体，磁场畸变产生一个向上的很大的排斥力，把磁铁托在空中，这就是磁悬浮的道理，这一特性启示了人们用超导材料制造磁悬浮列车。

超导现象是1911年荷兰物理学家昂尼斯首先发现的。他发现在(℃)，汞的电阻突然消失，并把这种“零”电阻特性称为“超导电性”。接着他又发现在附近，铅也具有“超导性”。

1933年，迈斯纳发现了超导的“完全抗磁性”，他证明处于磁场中的超导体可以把磁感线完全排斥在体外，从而使自身可以悬浮在磁体之上。这个现象称为“迈斯纳效应”。至今人们仍把“零电阻特性”和“完全抗磁性”作为判定材料达到“超导状态”的两个必要条件。

例1、为了使一圆柱形导体棒电阻不随温度变化，可将两根截面积相同的碳棒和铁棒串联起来，已知碳的电阻率为，电阻率温度系数℃，而铁，℃求这两棒的长度之比是多少？

解： 各种材料的长度和截面积都会随温度变化而变化，但它们电阻率的变化比线度的变化要明显得多(一般相差两个数量级)，因此可以忽略线度的变化。

将代入，得

式中为材料0℃时电阻

将碳棒和铁棒串联，总电阻为

要R不随温度变化，必须有

由，可知截面积相同的两棒长度之比为

2．1 ．1．电流、电流强度、电流密度

导体处于静电平衡时，导体内部场强处处为零。如果导体内部场强不为零，带电粒子在电场力作用下发生定向移动，形成了电流。形成电流条件是：存在自由电荷和导体两端有电势差(即导体中存在电场)。自由电荷在不同种类导体内部是不同的，金属导体中自由电荷是电子；酸、碱、盐在水溶液中是正离子和负离子；在导电气体中是正离子、负离子和电子。

电流强度是描述电流强弱的物理量，单位时间通过导体横截面的电量叫做电流强度。用定义式表示为

电流强度是标量。但电流具有方向性，规定正电荷定向移动方向为电流方向。在金属导体中电流强度的表达式是

n是金属导体中自由电子密度，e是电子电量，v是电子定向移动平均速度，S是导体的横截面积。

在垂直于电流方向上，单位面积内电流强度叫做电流密度，表示为

金属导体中，电流密度为

电流密度是矢量，其方向与电流方向一致。

(六)线性回归法

直觉拟合法最大的缺陷就是无法克服连线时的主观随意性，也就是说，直接拟合很难找到一条离各个数据点最近的图线。那么是否可以通过严格的数学方法找到这条最佳的图线呢？这就是下面要讨论的问题。

1、线性回归法(最小二乘法)　 假定变量x和y的关系是线性的

　 y=kx+b

其图线是一条直线。

在实验中测得n组数据现在的问题是怎样根据这些数据确定上面线性方程中的k和b。为了理论上计算的需要，假定中只有是有误差的。在实际处理实验数据据时，可以把两个变量中相对业说误差较小的变量作为x。

我们对回归直线提了的标准是：要求从各数据点到回归直线的竖直距离平方之和为最小，也就是说，要求出k和b等于什么值时，各数据点到回归直线的竖直距离平方之和取得极小值。由于数学知识的限制，这里不介绍具体推导，只给出结论供使用：

　 令　　

那么斜率　　

截距　　　

式中符号表示求和，如果共有n个数据点，那么

这个计算过程看起来比较复杂，但在职电脑使用日益普及的今天，用电脑来完成这样的工作很方便。一些功能比较齐全的计算器具有二维统计功能，也能自动完成这些计算。

在统计理论中还给出一个叫做相关系数的量，它主要表征x、y两个变量相关的程度。从图线上看，如果x、y的相关程度高，那么数据点都比较靠近拟合出来的图线；如果相关程度低，那么数据点就比较分散。相关系数

当x与y完全不相关时，r=0；当x与y正相关，即回归直线的斜率为正时，r>0;当x与y负相关，即回归直线的斜率为负时，r<0；当所有数据点都在回归直线上时，。所以，r的数值只能在(-1)和(+1)之间。图11-10说明了数据点分布情况不同时的相关系数。

(2)线性回归法的误差　 由于线性回归法是建立在严格的统计理论基础上的，因此可以计算回归直线方程的系数k和b的误差，同样由于数学方面的原因，这里只给出计算结果：

k的相对误差：　

k的绝对误差：　

b的绝对误差：　

b的相对误差：　

　 有了k和b的误差，便可以确定k和b的有效位数了：使k和b只保留一位存疑数，即让误差的位数和k、b的最末一位数相同。

3、线性关系显著的标准　 由对相关系数r的讨论可知，对一个实际问题，只有当相关系数r的绝对值大到一定程度时，才可以用回归直线来近似地表示变量x和y之间的关系，即可以认为x与y成线性关系。因此，要有一个标准，在这个标准之上，就可以认为x与y线性关系显著。

线性关系显著的标准与数据点的个数有关，下面我们给出两个变量达到线性关系显著标准的相关系数的最小值(此值还与显著性水平有关，这里列出的是显著性水平a=0.01时的相关系数的最小值)。下表中n为数据点个数，r为相关系数的最小值。

下面用一个很简单的例子来说明线性回归法处理实验数据的具体做法。

　 在研究导体上的电流I和导体两端的电压U的关系时，得到如下数据：

(1)对以上数据进行线性回归处理

　 (2)计算相关系数及误差

　(3)根据以上计算，可以得到下列结论

　 ①电流I和电压U的相关系数为0.9988,因为0.9988>0.834,因此是显著相关，说明I和U成线性关系。

②回归直线的截距b=0.06953,而，因此可以认为回归直线过原点，说明I和U成正比。

③导体的电阻

因此　　

(五)图线法处理实验数据　

1、图线法的作用和优点　 物理实验中的图线法，是用作图来得到实验结果，它是一种应用得很广泛的处理实验数据的方法。特别是在有些科学实验的规律和结果还没有完全掌握或还没有找到明确的函数表达式时，采用作出的图线来表示实验结果，能形象、直观地显示出物理量变化的规律。

图线法有取平均的效果。一般的图线是根据许多组数据拟全出来的平滑曲线或直线，这样的图线就有多次测量取平均的作用。

图线法还可以帮助我们发现某些错误。如果在描图过程中发现某个点偏离得特别远，则提示测量或数据计算中可能有错误，应重新测量或进行校对。

2、作图线的规则

(1)作图线必须用坐标纸，我们一般采用毫米方格纸　　 坐标纸的大小根据实验数据的有效位数来确定，一般的原则是：测量数据中的可靠数字在图线中也应该是可靠的，测量数据中的存疑数字在图线中应该是估画的，即坐标中的最小格对应于测量值的有效数字中可靠数字的最后一位。

(2)坐标轴的坐标与比例　　 通常以横轴代表自变量，纵轴代表因变量。在坐标轴的末端近旁标明所代表的物理量及单位。作图线时，根据需要横轴和纵轴的标度可以不同，两轴的交点也不一定要从零开始。要力求整个图线比较对称地占据整个图纸，不要偏在一角或一边。

(3)图线的标点与连线　 根据测得的数据，用削尖的铅笔在坐标图纸上对应地以“⊙”标出各数据的点。同一坐标纸上如有不同的图线，应当用不同的符号，如“+”，“△”等来标点。当数据点标好后，用直尺或曲线板等作图工具，把它们连成直线或光滑曲线。除特殊情况(如校准曲线)外，绝不允许连成折线，也不允许连成“蛇线”。图线不一定通过每个数据点，但要求数据点在图线两旁有较均匀的分布。

(4)在坐标纸上应标明图的名称，一般要求在图纸上部附近的空旷位置写出简要完整的图名，文字要用仿宋体。

3、用图解法求直线的斜率和截距　　

如果图线为直线，其函数式为y=kx+b，那么可以从图线上解出其斜率k和截距b。具体求法是在直线上任意取两点两点不能靠得太近，一般取在靠近直线两端的地方。在直线上确定这两点的坐标之后，即可列出方程组

解方程组，得直线斜率

如果x坐标的起点为零，则可直接从图线上读取直线与y轴的交点的y的坐标，就是直线的截距b。如果x坐标轴的起点不为零，则要在图线上再取一点有

要注意的是都要由图线上取得，不可用原来的实验数据点。为了减少误差，这三个点的确良x坐标可取整数，读坐标值时，只要读取它们的y坐标即可。

4、曲线化直　　 在实验中，会遇到各种各样的函数形式，其中一次函数的图线最容易精确绘制，并且可以根据图线求出所需要的数据(一般是求出图线的斜率k和截距b，然后再根据k和b求出所需实验结果)。所以，我们常通过一些变换，将曲线函数化成直线函数，这一工作可称为“化直”。

物理实验中常遇到下列函数

图线类型	函数式	例子	物理公式
直　 线		匀变速运动
抛物线		单摆
双曲线		玻意耳定律
平方反比		库仑定律
指数曲线		阻尼振动

下面具体说明怎样将上述函数“化直”：

(1)抛物线，设y=Y,

(2)双曲线，设y=Y,

(3)平方反比，设y=Y,

(4)指数曲线，设

作了上列变换后，再作~X图线，便可得到直线。

　 5、图线法求实验结果　 图线法求实验结果的一般步骤是：

　 (1)改变实验条件多次重复测量，得到一系列实验数据；

　 (2)进行数据变换，得到直线形函数

　 (3)拟合出图线(直线)；

　 (4)求出图线的斜率k和截距b；

　 (5)从k和b中间求出所需要的实验结果。

　 6、图线法探索物理规律　 在已知物理规律(如上例中已知)时，可以用图线法来求实验结果；如果物理规律尚不清楚，也可以用图线法来探索物理规律。

　 先看一个物理学史上的事例：欧姆当年研究电压、电流和电阻三者之间的关系时，非但没有测量电压、电流、电阻的电表，连电压、电流、电阻的概念都没有。他以导线的长度L代表电阻，以放在通电导线旁边的小磁针的偏转角度代表电流强度，得到如下实验数据：

L(英寸)	2	4	6	10	18	34	66	134
(度)	305	281	259	224	178	125	79	44
	0.328	0.356	0.386	0.446	0.561	0.800	1.27	2.27

　 我们可以通过以下步骤来探索当电压一定时，电流()和电阻(L)的关系。

(1)以纵轴代表，横轴代表L，作出~L图线(图11-8)

　 (2)根据图11-8初步判断与L成反比关系，因此再算出一系列值，并试作图线(图11-9)，得到一条不过原点的直线。这说明与L不成反比关系，但和L却成线性关系。

　 (3)设,其中k为图线的斜率，b为图线在纵轴上的截距，上式可化成

　 (4)在图线上取两点：

求出图线的斜率

从图11-9中可直接看出图线的截距，所以

这个式子和我们今天常用的全电路欧姆定律已完全一样了，式中6600代表电动势，20代表内阻。

　 7、图线法的局限性　 由于图线一般都是靠目视而拟合出来的(这种方法叫直觉拟合)，因此在拟合过程中人的因素难免要起作用。同一组数据，两个人通过直觉拟合得到的结果一般不可又红又专完全一样，这就说明图线法处理数据的过程又会给实验结果带来一些新的“误差”。因此，直觉拟合作图法是一种比较粗略的数据处理方法，一般不讨论结果的误差。

(四)系统误差

　 系统误差具有确定的方向性，因此找出其产生的原因后，可采取适当的措施减小或消除此之外它。下面讨论几种常见的系统误差及解决的方法。

1、由实验原理的不完善带来的系统误差　 以伏安法电阻为例，不论是图11-2(a)所示的电流表外接，还是图11-2(b)所示的电流表内接，

都旧有系统误差的，对此系统

误差，有两种办法处理，一种是对实验结果进行修正，另一种是地实验线路进行补偿。

以图5-2(a)线路为例，如果事先已知电压表的内阻　 ，即可对实验结果进行修正，如果电压表和电流表的读数分别为U和I，则可解得

如果电压表的内阻未知，则可改进实验线路，进行电流补偿(图5-3(a))或电压补偿(图5-3(b))。仔细地调节滑动变阻器R，使电流表的读数为零。此时因为a、b两点等势，所以电压表的读数就是的电流，这样就消除了由于电流表分压及电压表分流而带来的系统误差。

注意，图5-3只是电流补偿和电压补偿的原理图，在实际操作中，还须有一些附加部件。例如在电流计上必须串一个滑动变阻器以保护电流计，电路未调平衡时将滑动变阻器置于阻值最大处，随着逐渐调平衡慢慢减小滑动变阻器的阻值直至零。

2、由于测量仪表不准确带来的系统误差　 图5-3所示的补偿电路解决了由于实验原理不完善带来的系统误差。但电压表和电流表的准确度是很有限的(一般中学里用的电表都是2.5级的，即使大学专业实验室中的电表也只有0.5级)，这会给测量结果带来较大的误差。

为了用准确程度要高得多的电阻代替电表来测量，我们可以这样来分析一下图5-3(a)的电路，将R分画成两个电阻(图5-4)。我们假定有四个电阻‖　 ，，根据欧姆定律

这样，如果三个电阻都已知，也就测得了。

　 将图5-4改画成图5-5，

都用电阻箱。这就是我们熟知的惠斯通

电桥。电阻箱的准确度要比电表高得多

，中学里用的多数为0.2级，稍好一些

的即可达0.02级。

3、由外界环境带来的系统误差　 用

量热器做热学实验时，实验系统和外界的热交换是一个比较难解决的问题，此时我们可以用“异号抵消”的思想来减小这一系统误差。

在用混合法测定冰的熔解热的实验中，将量热器假定成一个完美的绝热系统，但这在职实验中是无法做到的，我们采用“异号抵消”法来尽量减小量热器和周围环境之间的热传递给实验结果带来的系统误差。

在实验过程中，环境温度可以认为是不变的。适当选取量热器内水的初温和水、冰的质量，使量热器在实验的前一部分时间内向周围环境放热，在实验的后一部分时间内从周围环境吸热，并尽量使整个实验过程中量热器与环境的热交换前后彼此抵消。这样便可以认为量热器是一个很好的绝热系统。

怎样才能使量热器的放、吸热基本相同呢？我们以时间t为横轴，以量热器温度T为纵轴，可得如图11-6所示的图线。AB是冰块投入前的自散热线，BCD是冰的熔解线，DE是自然吸热线，从这段时间内，量热器的温度高于室温，量热器向周围环境放出来的热量可用BFC这个曲边三角形的面积来表示(暂不作证明)。从这段时间内，量热器的温度低于室温，量热器从周围环境吸收的热量可用曲边三角形CGD的面积来表示，适当地控制水的初温和水、冰的质量，使相差不多，即可认为量热器与外界基本没有热交换。

(三)有效数字及其运算

　 1、有效数字　 如上所述，用实验仪器直接测量的数值都含有一定的误差，因此测得的数据都只能是近似数，由这些近似数通过计算而求得的间接测量值也是近似数。为了使间接测量结果合理些，对近似数的表示和计算都有一些规则，以便确切地表示测量和运算结果的近似性。

从仪器上读出来的数值，经常有一位数是估计出来的，或多或少存在着误差。例如米尺的最小刻度是mm(0.001m)，那么用米尺测量长度可读到十分之一毫米(0.0001m).0.001m这一位可以从米尺上读出来，是可靠的，0.001m位前面的数都是可靠数，0.0001m这一位是测量者估读出来的，估读的数字因人而异，因此是有疑问的，称为存疑数。由于0.0001m位已存疑，在它以后各位数的估读已无必要。我们把可靠数加上最后一位存疑数，一起记录下来，统称为有效数字。

在应用有效数字进行数据处理时应注意以下几点：

(1)自然数1，2，3，4，5，6，7，8，9如出现在测量中，均为有效数字。“0”出现在其它数字之后或之间为有效数字，如出现在其它数字之前就不是有效数字了，它们只起定位作用。例如0.08020，前面两个零不是有效数字，后面四个数都是有效数字，因此它有四位有效数字。

(2)读数时，必须按照仪器要求读出测量值，即使末位是“0”，也不能任意舍去。在数学中我们认为2.10cm、2.100cm、2.1000cm是相同的，而在物理中却表示了用三种不同的测量工具所测量的结果，其估读的可疑数分别在0.01cm、0.001cm、0.0001cm这些位上，所以我们决不能在测量结果后面任意加上或丢掉“0”。

(3)有效数字是由测量对象和测量仪器所决定的，单位的换算不能改变有效数字的位数，因而必须注意单位换算时的正确表示法。例如将3.70m化成毫米单位，不能写成3700mm而应该用指数表示法写成,仍表示三位有效数字；将280mm换成以米作单位，不能写成2.8m,而要写成2.80m。

2、有效数字的运算法则　　 在有效数字运算过程中，为了做到不因运算而引进“误差”或损失有效位数，以不影响测量结果的精确度为原则，人们对有效数字的近似运算法则作了统一规定。

(1)有效数字的加减　　 我们通过下面两个例子的运算，了解一下加、减运算中有效数字的取法。

计算时，我们在存疑数下面加横线，以使之与可靠数字相区别，在相加结果35.37中，由于第三位数“3”已为存疑数字，后面的一位便毫无意义，按四舍五入的原是处理，本例应向前进位，与成35.4，有效数字为3位。同理，相减的结果应该为22.72，舍去了尾数“4”，有效数字为4位。

在上面的例子中，如果我们按照位数对齐相加或相减诸数，并以其中存疑位数最靠前的量为基准，事先进行四舍五入，取齐诸量的尾数，则可简化运算过程，而结果仍然相同。仍用上面两个算式为例，具体算法如下：

这个结论可以推广到多个量相加或相减的运算中去。

(2)有效数字的乘除　 我们通过下面两个例子的运算，了解一下乘、除运算中有效数字的取法

计算过程中，凡是有存疑数字参于运算而得到的量都是不可靠的。在运算结果中，存疑数字只保留一位，其后面的存疑数字是没有意义的。因此上面两个例子的结果分别为110和173，有效数字都是三位。从以上两个例子中可以看到，两个量相乘(或除)的积(或商)其有效数字与诸因子中有效数字位数最少的相同。这个结论可以推广到我个量相乘除的运算中去。

(3)有效数字的乘方、开方　 按照确定乘法运算结果有效位数的方法，可知乘方运算的结果，x的有效位数应与其底数A的有效位数相同。当n是分数时，就是开方运算，也可看作是乘方的逆运算，根的有效位数与被开方数的有效位数相同。

以上这些结论，在一般情况下是成立的，但也有例外/只要我们掌握了有效数字的意义和存疑数了取舍的原则，是不难处理的。

还应该指出，有效数字讲的是实验数据记录和运算的规则，它不能代替绝对误差和相对误差的计算。在实验中，如果两者发生矛盾，以误差计算法则为准。如果因为各项误差的积累，使间接测量的绝对误差较大，这样就便得根据有效数字运算法则算出来的本来应该可靠的位数也产生了误差，那么就将这一位数作为存疑数，后面多余的存疑数全部舍去。

(二)偶然误差

1、直接测量中偶然误差的估算　　 所谓直接测量，就是直接用测量仪器进行测量得到结果。

(1)单次测量的误差估算　　 在物理实验中，有时由于对测量的精度要求不高，或由于测量对象的不可重复性，对一个物理量的直接测量只进行一次，这种测量方法叫做单次测量。

单次测量结果的误差因测量工具的不同常有以下几种确定方法：

1)取测量仪器最小刻度的1/5或1/2作为测量误差，例如毫米刻度尺取0.2mm或0.5mm作为测量误差,一般温度计取0.2℃或0.5℃作为测量误差等等.

2)天平取其感量作为测量误差,例如物理天平可取0.02g,托盘天平可取0.1g作为测量误差.

3)机械秒表的最小分度一般是0.1s,但由于操纵表的人难免按之过早或过迟,因此可取0.1s或0.2s作为测量误差.手动的电子秒表尽管可以显示0.01s,但由于同样的原因也只能取0.1s或0.2s作为测量误差,0.01s位上的数字是没有实际意义的.

4)电表(电压表、电流表)的测量误差有特定的确定方法：每个电表都有一个准确度级别(0.2级、0.5级、1级、2.5级、4级)，电表的测量误差不会大于其量程和它的级别的百分阶段之一的乘积. 例如有一个0.5级的电流表,量程为3A,那么其测量误差

5)电阻箱同样也用级别表示误差的大小，但电阻箱级别和电表的级别略有不同。n级电阻箱的测量误差为其当时阻值与n%的乘积。

(2)多次测量结果和误差估算 　　测量某一个物理量时，为了减小偶然误差，在可能的情况下，应多次重复测量。如果在相同的条件下对某一物理量进行了n次测量，各次测量分别为，那么其平均值

)

根据误差统计误差，可证明在一组测量n次的数据中，其算术平均值最接近于真值，此算术平均值称为测量的最佳值。当测量次数n无限增加时，最佳值将无限接近于真值。一般就将最佳值为多次测量的结果。

严格地说，误差是测量值和真值的差，但由于真值不可能得到，而且当测量次数多时，最佳值很接近于真值，因此可以用最佳值代替真值来估算误差。仍以上例来说明误差的估算方法。

　 …　　　

(3)测量结果的表示　　 测量结果应该包括数值、误差和单位三个部分。

通常将测量的结果写成单位。其中是测量值，可以是一次测量值，也可以是多次测量的最佳值，是绝对误差。为了更清楚地表示测量质量的好坏，还应同时写出其相对误差.

这里要说明两点：

①在误差运算的过程中，一般只取一到二位有效数字，最后表示绝对误差的值一般只取一位而且应该和测量最佳值的最末一位对齐，为了确保误差范围的有效性，一般是只入不舍。

②测量结果为并不表示x为两个值，而是表示x一般在这个范围之内。

2、间接测量中偶然误差的估算　　 所谓间接测量，就是应用直接测量得到的值，经过计算得到自己所需要的结果。例如测一块圆柱体金属的密度，可以先通过直接测量得到它的直径D、高h和质量m，然后用公式

计算出密度。因为计算中所用的直接测量值都是有误差的，所以算出来的间接测量值当然也是有误差的。下面就讨论在不同类型的计算中，怎样由直接测量的误差得到间接测量的误差。

设x为间接测量的量，而A、B、C…为直接测量的量，它们之间满足一定的关系，即x=f(A,B,C…).如果各直接测得量表示为

将这些量代入f(A,B,C…)中，便可以求得

　 其中为间接测得量的最佳值，是间接测得量的绝对误差。

　 (1)加法运算中的误差

　 若x=A+B+C+…

　 则

其中最佳值

绝对误差

由于A、B、C都是互相独立的，它们的绝对误差可能为正，也可能为负。在最不利的情况下，可能出现的最大误差是。我们规定此可能的最大误差为x的误差。

(2)减法运算中的误差

若x=A-B-C-…

则

其中最佳值

　　 绝对误差

按前面所讲，在最不利情况下，取

　　 由此可见，加减运算结果的绝对误差等于各直接测得量的绝对误差之和。

　 (3)乘法运算中的误差

若

则

其中最佳值

绝对误差

由于(即比或更小的小量),可以忽略不计,所以,.在最不利的情况下,取,于是相对误差为

(4) 除法运算中的误差

若

　　 则

)

其中最佳值

　 绝对误差,在最不利的情况下,取.相对误差为

=

由此可见,乘除运算结果的相对误差等于各直接测得量的相对误差之和.这个讨论虽然是从两个因子乘除的运算中推导出来的,但可以推广到任意多个因子乘除的运算中去,如果加、减、乘、除运算中有的因子是公认的理论值或测量值，那么可以不考虑它的误差。

(5)乘方和开方运算中的误差

若。如果n是整数就是乘方运算，如果n是分数就是开方运算。

(6)三角函数运算的误差

若　　

若　　

若　　

若　　

若　　

若　　

上列式中分别表示x和A的绝对误差。限于数学工具，以上公式我们不作推导。

掌握了间接测量的误差传递公式，不但可以在实验结束后估算出实验结果可能的误差，还可以在实验前帮助我们确定实验方案和改进实验操作。请看下面一例：

试用单摆测量某地的重力加速度，可提供的工具除了单摆之外还有米尺、秒表等，要求测得的g的相对误差小于1%。

根据单摆的周期公式

根据误差传递公式可知　

因为要求，进行适当的分配，可确定操作目标为：，摆长是用米尺测量的，一般取，因考虑到摆线可能有一定的伸缩性，取较妥(已留有相当的余地)。因此摆长

周期是用秒表测量的，以开、停表都有0.2秒的误差计,,因此总计时

这样我们在实验中用摆长为1m左右的单摆,用秒表测出它摆动100次左右的时间,即可达到题设的要求.

如图11-1所示的比重瓶是一种有准确的固定体积的容器(瓶中装满液体,然后将塞子盖上,多余的液体会从塞子中央的细管中溢出,这

样便保持了瓶中液体一定的体积),要求用此瓶测定一种小金属粒的密度,可提供的仪器还有天平、砝码和蒸馏水。

　 这个实验的原理不复杂，先测了金属粒的质量，再测出装满水的比重瓶的质量最后将金属粒放进装满水的比重瓶中，测出带金属粒和水的比重瓶的质量。这样，被金属粒排出的水的质量便是，这部分水的体积是，这也就是金属粒的体积，于是金属粒的密度便是

实验操作中一个有待决定的问题是：金属粒是多放一些好还是少放一些好？因为的相对误差

其中有公认值，故可以忽略。

对同一架天平来说,是确定的,不难看出,当金属粒放得比较多时,上面两式的分母都比较大,相对误差就比较小.因此尽量多放些金属粒,能减小实验结果的误差.