8．在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，为的中点，为的中点，

(1)求直线与所成的角;　　

(2)在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；

若不存在，说明理由。

解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系

(1) 　　

,

,　

故直线与所成的角为

(2)假设存在点，使平面，只要且

　 不妨设则，

，　 恒成立

或

故或时，平面

7．如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，

(Ⅰ)求证：面；

(Ⅱ)求二面角的大小；

(Ⅲ)求三棱锥的体积。

方法一

解：(Ⅰ)证明：取的中点，连结

∵分别为的中点

∵

∴面，面

∴面面　

∴面

(Ⅱ)设为的中点 ∵为的中点　

∴　 ∴面

作，交于，连结，则由三垂线定理得，从而为二面角的平面角。

在中，，

从而

在中，

故二面角的大小为

(Ⅲ)

作，交于，由面得

∴面

∴在中，

∴

方法二：以为原点，所在直

线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则

∵分别是的中点

∴

(Ⅰ), 取，显然面，，

　 ∴　 又面　 ∴面

(Ⅱ)过作，交于，取的中点，则

设，则

又由，及在直线上，

可得，解得

∴ ∴, 即

∴与所夹的角等于二面角的大小

故二面角的大小为

(Ⅲ)设为平面的法向量，则

　又

　 ∴　　 即 　∴可取

　 ∴点到平面的距离为

　 ∵，　

　 ∴

　∴

6．已知直四棱柱中，，底面

是直角梯形,,,,,

,则异面直线与所成的角为 arccos　 。

5．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，那么

(1) 直线BA₁与CC₁所成角的大小为　 45°　　 。

(2) 直线BA₁与B₁C所成角的大小为　 60°　　 。

(3) 异面直线BC与AA₁的距离为 a　　　 。

(4) 异面直线BA₁与CC₁的距离为　 a　　 。

4．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，截面A₁BD与底面ABCD所成的二面角A₁-BD-A

的正切值为( B　 )　　 　

A．1　　　 B．　　　 C．　　 D．2

3．如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，O是底

面A₁B₁C₁D₁中心，则O到平面ABC₁D₁的距离为( B )

A．　 　　B．　　 C．　　 D．

2．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是A₁C₁的 中点，则直线AD 与平面B₁DC所成角的正弦值为(　 D )．

A．　　 　B．　　 C．　　 D．

1．如果向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)分别平行于平面α,β且都与此两平面的交线l垂直,则二面角α-l-β的大小是 (　 D　　 )

A． 90°　　　 B． 30°　　　　 C．45°　　 　　　　　D．60°

3．求平面的法向量；　　 　　4．利用公式求答案。

★★★突破重难点

[范例1]如图, 在直三棱柱中，

,点为的中点

(Ⅰ)求证;

(Ⅱ) 求证：平面;

(Ⅲ)求异面直线与所成角的余弦值

解： ∵直三棱锥底面三边长　

，两两垂直

如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C₁(0,0,4),B(0,4,0),B₁(0,4,4),D(,2,0)

　(Ⅰ),

(Ⅱ)设与的交点为E，则E(0,2,2)，

(Ⅲ)

∴异面直线与所成角的余弦值为

[点晴]在具有三维直角的立体几何题中常使用空间向量方法，证明线面垂直即证明直线的方向向量与平面的法向量平行，另外注意异面直线所成角为锐角。

[文]如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

　 (Ⅰ) 求证∥平面

　 (Ⅱ) 求直线与平面PBC所成角的大小；

解析 (1)

。

[点晴]注意空间坐标系的选取，证明线面平行即证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，另外注意线面所成的角与直线方向向量和法向量所成角的关系。

[范例2]如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox//BC，Oy//AB．E为VC中点，正正四棱锥底面边长为2a，高为h．

(Ⅰ)求

(Ⅱ)记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面

角α-VC-β的平面角，求∠BED．

解：(I)由题意知B(a，a，0)，C(―a，a，0)，

D(―a，―a，0)，E　　　　

由此得　

(II)若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，则，即有=0．

　又由C(－a，a，0)，V(0，0，h)，有且

　即这时有

[点晴]本小题主要考查应用向量知识解决立体几何的能力，注意面面所成角与两法向量所成角的关系。

[文]如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA₁=1,侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M。

求证：(1)CD⊥平面BDM；

(2) 求面B₁BD与面CBD所成二面角的大小。

解：以C为原点建立坐标系。

(1),

则，

∵A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，∴CD⊥平面BDM。

(2) 设BD的中点为G,连结B₁G, 则

，

，

∴的夹角等于所求二面角的平面角. 　　　　 所以所求的二面角等于

[点晴]本小题坐标系的建立容易想到，用直线与平面内两不共线向量垂直来证明线面垂直是根据立体几何的判定定理，另注意面面所成角与两法向量所成角间的转换。

[范例3]如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点，且CN＝2C₁N．

(Ⅰ)求二面角B₁－AM－N的平面角的余弦值；

(Ⅱ)求点B₁到平面AMN的距离。

解(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，

M(0，，0),C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，

所以,,

因为

所以,同法可得。

故﹤﹥为二面角-AM-N的平面角

∴﹤﹥＝

故二面角-AM-N的平面角的余弦值为。

(Ⅱ)设n=(x, y, z)为平面AMN的一个法向量，则由得

, 故可取

设与n的夹角为a，则。

所以到平面AMN的距离为。

[点晴]本小题坐标系的建立有点特殊，同学们可试在另外坐标系下的方法。注意如何使用向量形式下求各种立体几何中距离的问题，考查应用向量解决数学问题的能力.

[文]如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4．

　 (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

　 (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

　 (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离．

解：(Ⅰ)连结AC、BD，设．

由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD．

(Ⅱ)由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD． 由(Ⅰ)，QO⊥平面ABCD． 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，

由题条件，相关各点的坐标分别是

P(0，0，2)，A(，0，0)，

Q(0，0，－2)，B(0，，0)．

所以

．

故直线AQ与PB所成的角是．

(Ⅲ)由(Ⅱ)，点D(0，－，0)，

，，设是平面QAD的一个法向量，

由得．取x=1，得．

所以点P到平面QAD的距离．

[点晴]本小题坐标系的建立还可以与ABCD的边平行，同学们不妨一试。注意如何使用向量形式下求各种距离的问题，其中求法向量向量解决几何问题的关键。

[范例4]如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。

(Ⅰ)、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；

(Ⅱ)、在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。

解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0), B₁(1,1,1),

D₁(0,0,1)．所以

又由

的一个法向量．

设与所成的角为，

则

依题意有：，解得．

故当时，直线。

(2)若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，

则。

依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于

即为的中点时，满足题设的要求．

[点晴]空间向量解决立体几何的开放性或探索性问题的关键是对未知点坐标的设法，从而建立方程得以解决，注意总结各种常见类型的坐标系以及坐标系各种点坐标的寻求。

[文]如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，

AF=1，M是线段EF的中点．

(Ⅰ)求证AM∥平面BDE；

(Ⅱ)求二面角A-DF-B的大小；

(Ⅲ)试在线段AC上确定一点P，使得PF与

BC所成的角是60°。

解：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系．

设，连接NE，则点N、E的坐

标分别是(、(0,0,1), ∴NE=(,

又点A、M的坐标分别是()、(　

∴ 　=(

∴NE=AM且NE与AM不共线， ∴NE∥AM．

又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDF．

(Ⅱ)∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF．

∴为平面DAF的法向量．

∵NE·DB=(·=0，

∴NE·NF=(·=0

得NE⊥DB，NE⊥NF，

∴NE为平面BDF的法向量

∴cos<AB,NE>=，∴AB与NE的夹角是60º．

即所求二面角A-DF-B的大小是60º．

(Ⅲ)设P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴CD=(，0，0)又∵PF和CD所成的角是60º．

∴

解得或(舍去)，即点P是AC的中点．

[点晴]本题前两个小题较简单，(Ⅰ)用到了立体几何的判定定理；(Ⅱ)注意法向量的求法；(Ⅲ)用未知数设不定点是空间向量解决立体几何问题的难点，注意总结各种常见类型的坐标系以及坐标系各种点坐标的寻求。

★★★自我提升

1．建立适当的坐标系；　 　　2．确定相关点的坐标；