摘要：7．如图.在长方体中.分别是的中点.分别是的中点. (Ⅰ)求证:面, (Ⅱ)求二面角的大小, (Ⅲ)求三棱锥的体积. 方法一 解:(Ⅰ)证明:取的中点.连结 ∵分别为的中点 ∵ ∴面.面 ∴面面 ∴面 (Ⅱ)设为的中点 ∵为的中点 ∴ ∴面 作.交于.连结.则由三垂线定理得.从而为二面角的平面角. 在中.. 从而 在中. 故二面角的大小为 (Ⅲ) 作.交于.由面得 ∴面 ∴在中. ∴ 方法二:以为原点.所在直 线分别为轴.轴.轴.建立直角坐标系.则 ∵分别是的中点 ∴ (Ⅰ), 取.显然面.. ∴ 又面 ∴面 (Ⅱ)过作.交于.取的中点.则 设.则 又由.及在直线上. 可得.解得 ∴ ∴, 即 ∴与所夹的角等于二面角的大小 故二面角的大小为 (Ⅲ)设为平面的法向量.则 又 ∴ 即 ∴可取 ∴点到平面的距离为 ∵. ∴ ∴

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