8．已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且．

(Ⅰ)求点的轨迹；

(Ⅱ)直线与的轨迹交于两点，若，且，求直线的斜率的取值范围．

解：(1)设，则

，又，即为的中点，

因此，的轨迹方程为：，其轨迹为以为焦点的抛物线.

(2)设，与联立得：

设，则是(*)式的两根，且

由得：，即

.因此，直线方程可写为：

(*)式可化为：

而

即：

令，解得

[文]

(Ⅰ)求M()的轨迹C；

(Ⅱ)过点(0，3)作直线与曲线交于A,B两点，，是否存在直线使OAPB为矩形．

解：(Ⅰ)

设，则

因此，点的轨迹是以为焦点，长轴长为8的椭圆，其方程为

(Ⅱ)假设存在这样的直线，使得为矩形，并设

与椭圆方程联立得：

设，则是(*)的两根，

且

因为为矩形，故

则，

由此可得：

解得：

因此，当直线的斜率为时，可使为矩形．

7．已知，与垂直，与的夹角为，且，，求实数的值及与的夹角．

解：设，，则；

　 ； ；．

解得，或，对应的分别为，或，

分别代入，解得；

4．已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是　 (　 B　 )

A.[0,]　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.

5．若三点共线，则的值等于__________.

6．已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是　　　　　　　　 .

3. 的三内角所对边的长分别为设向量,

,若,则角的大小为(　 B　 )

A.　　　　 B.　　　　　 C. 　　　　　D.

2．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则(B)

A．()　 B．()　 C．()　　 D．()

1．如图1所示，是的边上的中点，则向量(　 A　 )

A.　 B. 　C. 　D.

6、设函数，其中向量，，，。

(Ⅰ)、求函数的最大值和最小正周期；

(Ⅱ)、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。

[专家解答]

　 (Ⅰ)由题意得=(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)

　　 ＝sin²x－2sinxcosx+3cos²x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).

所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.

(Ⅱ)由sin(2x+)＝0得2x+＝k，即x＝,k∈Z，

于是d＝(，－2)，k∈Z.

因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝(―，―2)即为所求.

★★★高考要考什么

[考点透视]

本专题主要涉及向量的概念、几何表示、加法和减法，实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算，以及平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段的定比分点坐标公式和向量的平移公式.

[热点透析]

在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，做到概念清楚、运算准确，不必追求解难题。热点主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用.

★★★高考将考什么

[范例1]出下列命题：①若，则；　

②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；　 ③若，则；　 　④的充要条件是且∥；　

⑤若∥，∥，则∥。　 其中，正确命题材的序号是_________________.

解析：①不正确性。两个向量长度相同，但它的方向不一定相同。

②正确。∵且，又A、B、C、D为不共线的四点，

∴ 四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，

则，因此。

③正确。∵，∴、的长度相等且方向相同，又=，

∴、的长度相等且方向相同，∴、的长度相等且方向相同，故。

④不正确。当∥且方向相同，即使，也不能得到。

⑤不正确。考虑这种极端情况。

答案：②③。

[点晴]本题重在考查平面的基本概念。

[范例2]平面内给定三个向量：。回答下列问题：

(1)求；　　 (2)求满足的实数m和n ；

(3)若∥，求实数k；

(4)设满足∥且，求

解：(1)依题意，得=3(3，2)+(-1，2)-2(4，1)=(0，6)

(2)∵，∴(3，2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n)

∴　　 解之得

(3)∵∥，且=(3+4k，2+k)，=(-5，2)

∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0，∴；

(4)∵=(x-4，y-1)，=(2，4)，　　 又∵∥且，

∴解之得或

∴=(，)或=(，)

[点晴]根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。

[范例3]已知射线OA、OB的方程分别为，，动点M、N分别在OA、OB上滑动，且。　

(1)若，求P点的轨迹C的方程；

(2)已知，，请问在曲线C上是否存在动点P满足条件，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。

　解：(1)设，，

则，，

所以，即。

又因为，所以 ，代入得：。

(2)，所以，

因为，所以，得，

又，联立得，因为，所以不存在这样的P点。

[点晴]本题是一道综合题，重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。

[文]设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a+b).

(Ⅰ)求函数f(x)的最大值与最小正周期；

(Ⅱ)求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。

解：(Ⅰ)∵

∴的最大值为，最小正周期是。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

即成立的的取值集合是.

[点睛]本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.

[范例4]已知=(x,0)，=(1，y)，(+)(–)．

(I) 求点(x，y)的轨迹C的方程；

(II) 若直线l： y=kx+m (m0)与曲线C交于A、B两点，D(0，–1)，且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．

解:(I)+=(x,0)+(1,y)=(x+, y),

–=(x, 0)(1,y)= (x,– y)

.(+)(),　 　　　(+)·()=0,　　　　　

　(x+)( x)+y·(y)=0,　　　

故P点的轨迹方程为．　

(II)考虑方程组　 消去y，得(1–3k²)x²-6kmx-3m²-3=0　 (*)

显然1-3k²0, =(6km)²-4(1-3k²)( -3m²-3)=12(m²+1-3k²)>0.

设x₁,x₂为方程*的两根，则x₁+x₂=，x₀=, y₀=kx₀+m=,

故AB中点M的坐标为(，),

线段AB的垂直平分线方程为y=(),

将D(0，–1)坐标代入，化简得　 4m=3k²1,

故m、k满足　 消去k²得　 m²4m>0, 解得 m<0或m>4.

又4m=3k²1>1, 　　故m(,0)(4,+)．

[点睛]本题用向量语言来表达平面几何问题，是亮点。

[文]在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，若点C满足，点C的轨迹与抛物线交于A、B两点；

(1)求点C的轨迹方程；

(2)求证：；

(3)在x轴正半轴上是否存在一定点，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

解：(1)设，由知，点C的轨迹为.

(2)由消y得：

设，，则，,

所以，所以，于是

(3)假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为,由消x得：，设，，

则，.

因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以即,所以得，所以存在.

★★★自我提升

5、设向量，，满足，，，若｜｜=1,则

｜｜+｜｜的值是　4　.

4、已知向量，，则的最大值为．

3、已知三点，其中为常数.若，则与的夹角为(　 D )

(A)　　　　　 (B)或　

(C)　　　　　　　 (D)或