30．(朝阳·理·题17)

如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点．

⑴求证：平面；

⑵求证：平面；

⑶求直线与平面所成角的正弦值．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴设和的交点为，连接，连接，　

因为为的中点，为的中点，

所以，且　 又是中点，

则 且，

所以且．

所以四边形为平行四边形，

所以．

又平面，平面，

则平面……………………5分

⑵因为三棱柱各侧面都是正方形，

　　　　　　　　　　　　 所以，

所以平面．

因为平面，所以．

由已知得，

所以．

所以平面

由⑴可知，

所以平面．

所以．

因为侧面是正方形，所以．

又平面，

平面．

所以平面．

⑶取中点，连接．

在三棱柱中，

因为平面

所以侧面底面．

因为底面是正三角形，且是中点，

所以，所以侧面．

所以是在平面上的射影，

所以是与平面所成角．

．　 ………………14分

解法二：如图所示，建立空间直角坐标系．

设边长为2，可求得，

．

　⑴易知，，

，所以，所以．

又，则平面…………5分

⑵易得，

所以．

所以．

又因为平面．

所以平面．………………10分

⑶设侧面的法向量为．

因为．

所以．

由得解得．

不妨令，设直线与平面所成角为，

所以．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

29．(崇文·文·题17)

三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．

⑴求证：平面；

⑵求证：平面；

⑶求三棱锥的体积．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴连结，，

∵是，的中点

∴．

又∵平面，

∴平面．

⑵∵三棱柱中，侧棱与底面垂直，

∴四边形是正方形．

∴．

∴．

连结，．

∴，又中的中点，

∴．

∵与相交于点，

∴平面．

⑶由⑵知是三棱锥的高．

在直角中，，

∴．

又．

．

28．(崇文·理·题17)

三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．

⑴求证：平面；

⑵求证：平面；

⑶求二面角的余弦值．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴连结，．在中，

∵是，的中点，∴．

又∵平面，

∴平面．　　　　　　　　　 --------------------4分

⑵如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则，，，，

，，．

设平面的法向量为．

令，则，∴ ．∴．

∴平面．　　　　　 　　　　　　--------------------9分

⑶设平面的法向量为,．

令，则

∴．

∴．

所求二面角的余弦值为．

27．(宣武·文·题16)

如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，分别为棱的中点．

⑴求证：；

⑵求证：平面．

[解析]　　　　　　 ⑴∵平面，平面

∴

∵

∴

∴平面

又是中点，

∴平面

∴．　

⑵证明：取中点，连结，，

∵为中点，∴．

∵平面，平面， [

∴平面；

同理，平面．

∵，

∴平面平面．

∴平面．　

26．(宣武·理·题16)

如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，．为中点，为中点．

⑴求证：；

⑵求二面角的余弦值；

⑶若四棱锥的体积为，求的长．

[解析]　　　　　　 ⑴∵平面，平面

∴

∵

∴

∴平面

又是中点，

∴平面

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

⑵建立直角坐标系，设

则

∴

由⑴知，平面，

∴是平面的法向量．

设平面的法向量为，

则且，

∴．

∴，

二面角的余弦值为．　　　　　　　　　　　　　　　

⑶连结，设，

，∴．

∵是直角三角形，

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

25．(东城·文·题17)

三棱柱中，平面，是边长为的等边三角形，为边中点，且．

⑴求证：平面平面；

⑵求证：平面；

⑶求三棱锥的体积．

[解析]　　　　　　 ⑴因为平面，又平面，

所以平面平面．

⑵证明：连结交于，连结，则是的中点，是的中位线．

所以．

因为平面，所以平面；

⑶因为平面，所以平面，所以为三棱锥的高．

．

所以三棱锥的体积为．

24．(东城·理·题17)

如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．

⑴求证：平面；

⑵求四棱锥的体积；

⑶求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴在正方形中，因为，

所以三棱柱的底面三角形的边．

因为，，

所以，所以．

因为四边形为正方形，，

所以，而，

所以平面．

⑵因为平面，所以为四棱锥的高．

因为四边形为直角梯形，且，，

所以梯形的面积为．

所以四棱锥的体积．

⑶由⑴、⑵可知，，，两两互相垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为．

则，即．

令，则．所以．

显然平面的一个法向量为．

设平面与平面所成锐二面角为，

则．

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

23．(西城·文·题17)

如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，

它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示．

⑴证明：平面；

⑵求三棱锥的体积；

⑶在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴因为平面，所以，

又，所以平面，所以．

由三视图可得，在中，，为中点，所以，

所以平面，

⑵由三视图可得，

由⑴知，平面，

又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，

所以，所求三棱锥的体积．

⑶取的中点，连接并延长至，使得，点即为所求．

因为为中点，所以，

因为平面，平面，所以平面，

连接，，四边形的对角线互相平分，

所以为平行四边形，所以，又平面，

所以在直角中，．

22．(西城·理·题17)

在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，=90°，，．

⑴求证：平面；

⑵求证：平面；

⑶设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°．

[解析]　　　　　　 ⑴取的中点，连结，

因为为中点，所以，且

在梯形中，，，

所以，，四边形为平行四边形，

所以，

平面，平面，

所以平面．

⑵平面底面，，所以平面，所以．

如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则，，，．

．

所以．

又由平面，可得，

所以平面．

⑶平面的法向量为，，

所以，

设平面的法向量为，

由，，得，

所以，

所以，

注意到，得．

21．(石景山·文·题17)

如图，已知直三棱柱，，，．、分别是棱、中点．

⑴求证：；

⑵求四棱锥的体积；

⑶判断直线和平面的位置关系，并加以证明．

[解析]　　　　　　 ⑴∵三棱柱是直棱柱，

∴平面．

又∵平面，

∴．

⑵解：∵三棱柱是直棱柱，

∴平面．

又∵平面，

∴ ．

∵，

∴．

∵，

∴平面．

∴．

∵是棱的中点，

∴．

∴．

∴．

⑶解：平面．证明如下：

取的中点，联结，．

∵、分别是棱、中点，

∴，．

又∵，，

∴，．

∴四边形是平行四边形，

∴∥．

又∵平面，平面，

∴平面．