19．3 .1 梯形(一)

3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．

2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．

求证：EA⊥AF．

4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，

求∠EAD与∠ECD的度数．

3．　 已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别

为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．

求证：∠AFE＝∠AEF．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；(　 )

②对角线互相垂直的矩形是正方形；(　 )

③对角线垂直且相等的四边形是正方形；(　 )

④四条边都相等的四边形是正方形；(　 )

⑤四个角相等的四边形是正方形．(　 )

1．正方形的四条边____　 __，四个角___　 ____，两条对角线____　 ____．

例1(教材P111的例4) 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O(如图)．

求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

证明：∵　 四边形ABCD是正方形，

∴　 AC=BD， AC⊥BD，

AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分)．

∴　△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，

并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

　 例2 (补充)已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：OE=OF．

　　 分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

　　 证明：∵　 四边形ABCD是正方形，

∴　 ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等)．

又　 DG⊥AE， ∴　 ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．

∴　 ∠EAO=∠FDO．

∴　 △AEO ≌△DFO．

∴　 OE=OF．

　例3 (补充)已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l₁∥l₂，作BM⊥l₁于M，DN⊥l₁于N，直线MB、DN分别交l₂于Q、P点．

求证：四边形PQMN是正方形．

分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．

证明：∵　 PN⊥l₁，QM⊥l₁，

∴　 PN∥QM，∠PNM=90°．

∵　 PQ∥NM，

∴　 四边形PQMN是矩形．

∵　 四边形ABCD是正方形

∴　 ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC(正方形的四条边都相等，四个角都是直角)．

∴　 ∠1+∠2=90°．

又　 ∠3+∠2=90°，　 ∴　 ∠1=∠3．

∴　 △ABM≌△DAN．

∴　 AM=DN．　 同理　 AN=DP．

∴　 AM+AN=DN+DP

即　 MN=PN．

∴　 四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．

2．[问题]正方形有什么性质？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．