摘要：例1 求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知:四边形ABCD是正方形.对角线AC.BD相交于点O． 求证:△ABO.△BCO.△CDO.△DAO是全等的等腰直角三角形． 证明:∵ 四边形ABCD是正方形. ∴ AC=BD. AC⊥BD. AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等.并且互相垂直平分)． ∴ △ABO.△BCO.△CDO.△DAO都是等腰直角三角形. 并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 例2 已知:如图.正方形ABCD中.对角线的交点为O.E是OB上的一点.DG⊥AE于G.DG交OA于F． 求证:OE=OF． 分析:要证明OE=OF.只需证明△AEO≌△DFO.由于正方形的对角线垂直平分且相等.可以得到∠AOE=∠DOF=90°.AO=DO.再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO.根据ASA可以得到这两个三角形全等.故结论可得． 证明:∵ 四边形ABCD是正方形. ∴ ∠AOE=∠DOF=90°.AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等)． 又 DG⊥AE. ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°． ∴ ∠EAO=∠FDO． ∴ △AEO ≌△DFO． ∴ OE=OF． 例3 已知:如图.四边形ABCD是正方形.分别过点A.C两点作l1∥l2.作BM⊥l1于M.DN⊥l1于N.直线MB.DN分别交l2于Q.P点． 求证:四边形PQMN是正方形． 分析:由已知可以证出四边形PQMN是矩形.再证△ABM≌△DAN.证出AM=DN.用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论． 证明:∵ PN⊥l1.QM⊥l1. ∴ PN∥QM.∠PNM=90°． ∵ PQ∥NM. ∴ 四边形PQMN是矩形． ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠BAD=∠ADC=90°.AB=AD=DC(正方形的四条边都相等.四个角都是直角)． ∴ ∠1+∠2=90°． 又 ∠3+∠2=90°. ∴ ∠1=∠3． ∴ △ABM≌△DAN． ∴ AM=DN． 同理 AN=DP． ∴ AM+AN=DN+DP 即 MN=PN． ∴ 四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．

网址：http://m.1010jiajiao.com/timu_id_2087932[举报]