两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系．

(四)板书设计

附:另一份教案

反比例函数(1)

知识技能目标

1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式；

2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式．

过程性目标

1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力；

2.探求反比例函数的求法，发展学生的数学应用能力．

教学过程

(三)延伸拓展

　　 1.链接生活

　　 某课外小组在做气体实验时,获得压强p(帕)与体积v(cm³)之间的下列对应数据:

　　 ┌───┬─┬─┬─┬─┬──┬──┬─┐

　　 │p(帕) │…│1 │2 │3 │4　 │5　 │…│

　　 ├───┼─┼─┼─┼─┼──┼──┼─┤

　　 │v(cm³)│…│6 │3 │2 │1.5 │1.2 │…│

　　 └───┴─┴─┴─┴─┴──┴──┴─┘

　　 根据表中提供的信息,回答下列问题:

　　 (1)在坐标系中描出表中各点,猜想p与v之间的关系,并求出函数解析式;

　　 (2)当气体的体积是12cm³时,压强是多少?

　　 2.实践探索

　　 (1)实践活动

　　 收集反比例函数在社会生活中应用的实例2个.

　　 (2)巩固练习

　　 课本第52页练习第1题和第2题和习题17.4第2题.毛

(二)教学流程

　　 1.复习导入

　　 (1)反比例函数是怎样定义的?

　　 (2)确定反比例函数的解析式需要什么条件?

　　 2.课前热身

　　 请同学们展示各自在上节课实践活动中所画出的问题2的函数图象,比一比谁画­得最好?

　　 (学生互评在上节课的实践活动中所画出的问题2的函数图象,形成对反比例函­数图象的初步感形认识.)

　　 3.合作探究

　　 (1)整体感知

　　 我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线,其性质随着k的正负发生变化,­那么反比例函数y= (k≠0)的图象又具有什么特征?其性质是否随着k的正负发生变­化呢?本课我们着重探讨这两个问题.

　　 (2)四边互动

　　 互动1

　　 师:利用多媒体演示幻灯片.

　　 [例1]画出函数y= 的图象.

　　 师:在未知函数图象的形状特征时,我们画函数的图象通常用什么方法?

　　 这个函数自变量的取值范围是什么?由此猜想这个函数的图象是连在一起的吗?

　　 用描点法画该函数的图象,在列表应注意哪些?

　　 生:逐个举手回答问题,达成共识.

　　 师:利用多媒体展现画图过程.

　　 (1)列表:这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y的对­应值表:

　　 ──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──

　　　 x │…│-6│-3│-2│-1│…│1 │2 │3 │6 │…

　　 ──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──

　　　 y │…│-1│-2│-3│-6│…│6 │3 │2 │1 │…

　　 ──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──

　　 (2)描点:由这些有序实数对,可以在直角坐标系中描出相应的点(-6,-1),(-3,­-2),(-2,-3)等.

　　 (3)连线:用光滑曲线将各点依次连起来,就得到反比例函数的图象,如图所示:

　　 师:请同学们用透明纸放在课本的该函数图象上复制这个图象,并用大头钉固定­上下坐标系原点,再把上面的图象绕着原点旋转180°,结果你发现什么现象?

　　 生:动手操作,并提出发现的问题.

　　 师:利用多媒体演示.

　　 试一试:在课本图17.4.1所在坐标系中画出函数y=-的图象.

　　 生:动手画图,交流画图的结果.

　　 师:请同学们讨论下列问题.

　　 讨论:(1)这个函数的图象在哪两个象限?和函数y= 的图象有什么不同?

　　 (2)反比例函数y= 图象在哪两个象限?由什么确定?

　　 生:在小组内展开交流,然后各组推选代表回答提出的问题,在全班交流,让全体­同学达成共识.

　　 明确　 概括:通过上述操作、讨论与交流,我们发现反比例函数的图象是两条曲­线,且这两条曲线关于原点对称,这种图象通常称为双曲线(hyperbola).

　　 反比例函数y= 图象的两个分支位居的象限与k的正负有关,当k>0时,函数的图­象分布在第一、三象限;当k<0时,函数的图象分布在第二、四象限.

　　 互动2

　　 师:利用多媒体演示课件:反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步­运动.

　　 请同学们观察反比例函数y= 和y=- 图象上点的运动情况,然后回答下列问题.

　　 (1)对于反比例函数y= ,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的?y­的值随着x的变化将怎样变化?

　　 (2)对于反比例函数y=-,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的?y­的值随着x的变化将怎样变化?

　　 生:在观察的基础上,在小组内展开讨论,并概括归纳发现的现象,对提出的问题­进行解答.

　　 明确 　通过观察可知,反比例函数y= 有下列性质:(1)当k>0时,函数的图象(如­图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x的增加­而减小;(2)当k<0时,函数的图象(如图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右上­升,也就是在每个象限内y随x的增加而增大.

　　 互动3

　　 师:利用多媒体演示幻灯片.

　　 已知反比例函数y=在第一象限内的图象如图所示,点M、N是图象上的两­个不同点,分别过点M、N作x轴的垂线,垂足分别为A、B,试探究△MOA的面积S△MOA­与△NOB的面积S△NOB之间的大小关系.

　　 师:(点拨)如果设点M、N的坐标分别位(x₁,y₁)和(x₂,y₂),那么S△MOA与x₁、­y₁之间存在怎样的关系?x₁·y₁的值是多少?S△NOB与x₂,y₂呢?

　　 生:在讨论交流的基础上,回答问题,并着手尝试解决问题,最后交流解答的过程­与结果.

明确　 因为点(x₁,y₁)在该反比例函数图象上,所以y₁=,得x₁·y₁=3,

S△MOA=­OA·MA=,同理S△NOB=,所以S△MOA=S△NOB.

　　 归纳可知:过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线,那么这点与垂足、坐标­系原点构成的三角形的面积是一个定值.

　　 互动4

　　 师:利用多媒体演示.

　　 已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(4,c)在双曲线y=-上,请把a、b、c按从小到大的­顺序进行排列.

　　 生:动手操作,操作完毕把个人所得结果在小组内展开交流.

　　 师:请同学们画出该双曲线的草图,验证你的结论,从中你发现什么问题?

　　 生:动手画图,验证各自解答的结果.

　　 明确　 许多同学直接利用反比例函数的性质,得出错误的结论:c<b<a.

　　 原因是没有理解反比例函数的性质“当k<0时,在每个象限内y随x的增加而增大”­.在同一个象限内y随x的增加而增大,并不是说在整个坐标平面内y随x的增加而增大­.因此,在比较反比例函数值的大小时,要分清对应的自变量的值是否在x轴的同一个­方向上(或几个点是否在同一个象限),如果不在同一个方向上,不能直接应用反比例­函数的性质.

　　 4.达标反馈

　　 (多媒体演示)

　　 (1)写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数解析式为y=

　　 (2)如图所示,直线y=kx与双曲线y=-相交于点A、B,过点A作AC⊥y轴于点­C,则△ABC的面积为 6.

　　 (3)已知反比例函数y= 的两点(x₁,y₁),(x₂,y₂),当x₁<0<x₂时,y₁<y₂,则m的取­值范围是(D)

　　 A.m<0　　 B.m>0　　 C.m>3　　 D.m<3

　　 (4)下列四个函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是(D)

　　 A.y=2x　　 B.y=x+3　　 C.y=-　　 D.y=

　　 5.学习小结

　　 (1)内容总结

　　 反比例函数　 图象特征、画法

　　　　　　　　 性质

　　 (2)方法归纳

　　 画反比例函数的图象,只能用描点法,利用反比例函数的性质比较大小时,要注­意对应的点是否在同一个象限内.

(一)本课目标

　　 1.了解反比例函数图象的形状特征.毛

　　 2.会画反比例函数的图象.

　　 3.经历探究反比例函数性质的过程,掌握反比例函数的性质.

　　 4.学会利用反比例函数的性质解决简单的实际问题.

(四)板书设计

17.4 反比例函数(第2课时)

(三)延伸拓展

　　 1.链接生活

　　 火车从安庆驶往相距约200千米的合肥,求火车行驶的速度v(千米/时)与行驶的­时间t(时)之间的函数关系式.

　　 2.实践探索

　　 (1)实践活动

　　 用描点法画出本节课中问题2的函数图象,并把所画的图象与一次函数的图象进­行比较.

　　 (2)巩固练习

　　 课本第52页习题17.4第3题.

　　 补充题:

　　 列出下列函数关系式,并指出它们是分别什么函数.

　　 ①火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距­离安庆的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.

　　 ②火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距­离合肥的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.

　　 ③某中学现有存煤20吨,如果平均每天烧煤y(吨),共烧了x(天),求y与x之间的­函数关系式.

　　 答案:①s=60t(0≤t≤);正比例函数　 ②s=200-60t(0≤t≤);一次函数　 ③­y=(x>0);反比例函数.毛

(二)教学流程

　　 1.情境导入

　　 利用多媒体演示课件“反比例函数”.(华东师范大学出版社教学光盘)

　　 通过观察发现:无论三角形的底边和底边上的高怎样变化,它们的积保持不变(­等于一个非零常数).

　　 2.课前热身

　　 (1)在正比例函数中,两个变量的商具有什么特征?

　　 (2)回顾小学所学的反比例,请举出两个成反比例关系的实例.

　　 (例如:路程一定时,速度与时间成反比;矩形面积一定时,长与宽成反比例等)

　　 3.合作探究

　　 (1)整体感知

　　 本节课我们着重探讨两个变量的积是一个非零常数的函数的相关概念、解析式­的求法.

　　 (2)四边互动

　　 互动1

　　 师:利用多媒体演示幻灯片.

　　 问题1:小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外的镇上去赶集,回来时让小­华乘坐公共汽车,用的时间少了.假设两人经过的路程一样,而且自行车和汽车的速­度都不变,爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘车不同交通工具的速度之间的­关系.

　　 师:这里的“找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系­”是什么意思?

　　 生:展开讨论,举手回答个人的不同认识.

　　 师:归纳讨论的结果:这里涉及两个时间和两个对应的速度──两个函数值和与­函数值对应的自变量的两个值,实际含义是指找出一个统一的表示时间和速度之间­关系的函数关系式,给出其中任意一个速度,就可以通过这个函数关系式计算出与之­相对应的时间.

　　 现在你们能解答这个问题了.

　　 生:动手尝试,并交流解答的过程和结果.

　　 明确　 和其他实际问题一样,要探求两个变量之间的关系,应先选用适当的字母­表示变量,再根据题意列出相应的函数关系式.

　 　设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时,从家里到镇上的时间是t小时.因为在­匀速运动中,时间=路程÷速度,所以t=.

　　 互动2

　　 师:利用多媒体演示课件“你能建围栏吗?”(华东师范大学出版社教学光盘)

　　 问题2:学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏建一个面积为24平方­米的矩形饲养场.设它的一边长为x(米),求另一边的长y(米)与x的函数关系式.

　　 生:观察课件,讨论发现的问题,并解答问题.

　　 明确　 根据矩形面积可知y=24,即y=.

　　 互动3

　　 师:上述函数(1)、(2)具有怎样的共同特征?能否用一个统一的函数关系式把它­们表示出来?说出你的想法.

　　 生:相互交流自己的观点,逐渐达成共识.

　　 明确 上述函数中,两个变量的积等于一个非零常数,都可以写成y=(k≠0)的­形式.

　   一般地,形如y=(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数(inverse­proportional function).

　　 互动4

　　 师:请同学们把正比例函数与反比例函数进行比较,说出它们有哪些不同?

　　 生:讨论交流,逐个举手回答自己的观点.

　　 明确　 从形式上来看,正比例函数是关于自变量的整式,反比例函数是关于自变­量的分式;从内涵上来看,正比例函数两个变量的商是一个非零常数,反比例函数两­个变量的积是一个非零常数;从自变量和函数的取值范围来看,正比例函数中的自变­量和函数值都可以为零,反比例函数中的自变量和函数值都不能为零.

　　 互动5

　　 师:利用多媒体演示幻灯片.

　　 请解答下列问题.

　　 (1)若y与x成正比例,x与z成反比例,则y与z成什么关系?

　　 (2)y是x的反比例函数,当x=2时,y=3,求y与x之间的函数关系式.

　　 (3)已知y₁与x成正比,y₂与x成反比,且y=y₁+y₂,当x=1时,y=3;当x=2时,y=3,求­y与x之间的函数关系式.

　　 生:分组合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演,其余同学在座位­上独立解答.

　 　明确　 师生共同归纳完善学生板演结果.

　　 (1)因为y与x成正比例,所以可设y=k₁x(k₁≠0),同样设x= (k₂≠0),则y=,由于­k₁k₂≠0,所以y与z成反比例.

　　 (2)设y= (k≠0),则3=2k,解得k=1.5,所以函数解析式为y==.

　　 (3)设y₁=k₁x,y₂=,则y=k₁x+,依题题得,解方程组得k₁=₁,k₂=2,所以y=x+.

　　 由上面的操作过程可知:确定反比例函数解析式的条件是已知一对对应的自变­量和函数值求几个简单函数的复合形式函数的解析式,常常首先分别设出这几个函­数的一般形式,然后用待定系数法解决问题.

　　 互动6

　　 师:请同学们独立解答课本第50页练习,解答完毕后在小组内进行交流.

　　 生:独立尝试,并交流解答结果.(教师来回巡视,帮助学有困难的学生分析.)

　　 明确　 教师和学生共同归纳解答过程和应注意的事项.

　　 4.达标反馈

　　 (多媒体演示)

　　 (1)若y与x成反比,x与z成反比,则y与z成 正比 关系.

　　 (2)若y与x²-2成反比例,且当x=2时,y=1,则y与x之间的关系式为 y=.

　　 (3)如果点(3,-1)在反比例函数y=的图象上,那么一次函数y=kx-k的解析式为y=-3x+3.

　　 (4)在电压一定时,通过用电器的电流与用电器的电阻之间成 (B)

　　 A.正比　　 B.反比　　 C.一次函数关系　 D.无法确定

　　 (5)已知点(2,5)在反比例函数y= 的图象上,其中“”是被污染的无法辨认的字­迹,则下列各点在该反比例函数图象上的是(B)

　　 A.(2,-5)　　 B.(-5,-2)　　 C.(-3,4)　　 D.(4,-3)

　　 5.学习小结

　　 (1)内容总结

　　 反比例函数 　意义(表达形式)

　　　　　　 　　解析式的求法

　　 (2)方法归纳

　　 确定反比例函数解析式的条件是已知一对自变量和函数的对应值(或其图象上­一点的坐标),可以利用待定系数法求反比例函数的解析式.

(一)本课目标

　　 1.了解反比例函数的意义.

　　 2.会用待定系数法求反比例函数解析式.

第1课时