36.(2008湖南益阳市) △ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.

　 Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；

Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.

小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.

Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.

设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .

Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：

　　　　 ①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；

②连结BF’并延长交AC于F；

③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.

你认为小明的作法正确吗？说明理由.

Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，

∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°

　　　　　　 ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°

　　　　　　 ∴△BDG≌△CEF(AAS)

　　 Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，

求得

　　　　　　　　　　　　　　 由△AGF∽△ABC得：

解之得：(或)

解法二：设正方形的边长为x，则

　　　　　在Rt△BDG中，tan∠B=，

∴

解之得：(或)

解法三：设正方形的边长为x，

则

　　　　　　　　　　 由勾股定理得：

　　　　　　　　　　 解之得：

Ⅱb.解： 正确

　　　　　　 由已知可知，四边形GDEF为矩形

　　　　　　　　　 ∵FE∥F’E’ ，

∴，

同理，

∴

　　　　　　　　　 又∵F’E’=F’G’，

∴FE=FG

因此，矩形GDEF为正方形

34.(2008广东肇庆市)如图5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.

(1)求证AE=BF；

(2)若BC=cm，求正方形DEFG的边长.

解：(1)∵　 等腰Rt△ABC中，∠90°，

∴　 ∠A＝∠B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵ 四边形DEFG是正方形，

∴　 DE＝GF，∠DEA＝∠GFB＝90°

∴　 △ADE≌△BGF

∴　 AE＝BF

(2)∵ ∠DEA＝90°，∠A=45°

∴ ∠ADE=45°

∴ AE＝DE．　　 同理BF＝GF

∴　 EF＝AB===cm

∴ 正方形DEFG的边长为

33. (2008黑龙江黑河)已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交(或它们的延长线)于点．

当绕点旋转到时(如图1)，易证．

(1)当绕点旋转到时(如图2)，线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

(2)当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

.

　解：(1)成立．

如图，把绕点顺时针，得到，

则可证得三点共线(图形画正确)

证明过程中，

证得：

证得：

(2)

28.(2008湖北黄冈)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．

解：∵ 四边形ABCD是正方形，

∴　 AD=CD　 ,∠A=∠DCF=90⁰

又∵ DF⊥DE，

∴ ∠1+∠3=∠2+∠3

∴ ∠1=∠2

在Rt△DAE和Rt△DCE中，

∠1=∠2

AD=CD

∠A=∠DCF

∴ Rt△DAERt△DCE

∴ DE=DF．

23．(2008泰州市)在矩形ABCD中，AB=2，AD=．

(1)在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；(3分)

(2)若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．

①求证：点B平分线段AF；(3分)

②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．(4分)

解：(1)当E为CD中点时，EB平分∠AEC

由∠D=90⁰ ，DE=1，AD=，推得DEA=60⁰，

同理，∠CEB=60⁰ ，从而∠AEB=∠CEB=60⁰ ，即EB平分∠AEC

(2)① ∵CE∥BF

∴== ∴BF=2CE

∵AB=2CE，

∴点B平分线段AF

②能。

证明：∵CP=，CE=1，∠C=90⁰

∴EP=。

在Rt △ADE中，AE= 　=2

∴AE=BF，

又∵PB=，

∴PB=PE

∵∠AEP=∠BP=90⁰ ，

∴△PAS≌△PFB。

∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。

旋转度数为120⁰

20.(2008湖北襄樊)如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.

(1)观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.

(2)在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.

解：(1)BG=DE

　∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，

∴GC=CE，BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°)

∴△BCG≌△DCE

∴BG=DE

(2)存在. △BCG和△DCE

△BCG绕点C顺时针方向旋转90°与△DCE重合

12.(2008年江苏省无锡市)如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：．

解法一：矩形中，，

，，

解法二：矩形中，

，，

．

11．(2008年山东省青岛市)已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．

(1)求证：△BCG≌△DCE；

(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由

解：(1)证明：∵四边形为正方形

∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°

　　　　　　　　 ∵CG＝CE，

∴△BCG≌△DCE

(2)答：四边形E′BGD是平行四边形

理由：

∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′

∴CE＝AE′

∵CG＝CE

∴CG＝AE′

∵AB＝CD，AB∥CD，

∴BE′＝DG，BE′∥DG，

∴四边形E′BGD是平行四边形　

15. (2008遵义)现有三个多项式：，，，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解。

解：()+()＝²－4＝(+2)(－2)

14.(2008徐州)已知

解：，将代入到上式，则可得