4、(黄石市)如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标；

(2)设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿

其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究：抛

物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个

单位长度？

解：(1)设抛物线解析式为，把代入得．

，顶点

(2)假设满足条件的点存在，依题意设，

由求得直线的解析式为，

它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则．

则，点到的距离为．

又．

．

平方并整理得：

．

存在满足条件的点，的坐标为．

(3)由上求得．

①若抛物线向上平移，可设解析式为．

当时，．

当时，．

或．

．

②若抛物线向下移，可设解析式为．

由，

有．

，．

向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长

3、(天津市)已知抛物线，

(1)若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；

(2)若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；

(3)若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

解：(Ⅰ)当，时，抛物线为，

方程的两个根为，．

∴该抛物线与轴公共点的坐标是和．　

(Ⅱ)当时，抛物线为，且与轴有公共点．

对于方程，判别式≥0，有≤．

①当时，由方程，解得．

此时抛物线为与轴只有一个公共点．

②当时，

时，，

时，．

由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，

应有　 即

解得．

综上，或．　　

(Ⅲ)对于二次函数，

由已知时，；时，，

又，∴．

于是．而，∴，即．

∴．　

∵关于的一元二次方程的判别式

，　

∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方．

又该抛物线的对称轴，

由，，，

得，

∴．

又由已知时，；时，，观察图象，

可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点．

2、(青海)王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间(单位：分钟)与学习收益量的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间(单位：分钟)与学习收益量的关系如图乙所示(其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．

(1)求王亮解题的学习收益量与用于解题的时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(2)求王亮回顾反思的学习收益量与用于回顾反思的时间之间的函数关系式；

(3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？

(学习收益总量解题的学习收益量回顾反思的学习收益量)

解：(1)设，

把代入，得．

．自变量的取值范围是：．

(2)当时，

设，

把代入，得，．

．

当时，

即．

(3)设王亮用于回顾反思的时间为分钟，学习效益总量为，

则他用于解题的时间为分钟．

当时，

．

当时，．

当时，

．

随的增大而减小，

当时，．

综合所述，当时，，此时．

即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大．

1、(广州)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.

(1)根据图象，分别写出A、B的坐标；

(2)求出两函数解析式；

(3)根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.

解: (1)A(-6,-2),B(4,3)

(2)两函数过A、B两点

∴　 -2=-6k+b　　　 -2=m/(-6)

　　 3=4k+b　　　　 3=m/4

解得:k=0.5,b=1,m=12

y＝0.5x+1，y＝

(2)－6<x<0或x>4

15. 已知抛物线y=x²+(2n-1)x+n²-1(n为常数)

　 (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；

(2)设A是(1)所确定的抛物线上的一个动点，它位于x轴下方，且在对称轴左侧，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C；

①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；

②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由。

14. 下列各图是由小三角形拼凑而成的图形。

　 (1)请观察每一个图形中小三角形的个数，并完成下表：

　 (2)根据上表中的数据，把n作为横坐标，把小三角形的总数m作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点(n，m)其中1≤n≤5；

　 (3)请你猜一猜，上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，请写出该函数的表达式。

13. 下图中，图(1)是一个扇形AOB，将其作如下划分：

第一次划分：如图(2)所示，以OA的一半OA₁为半径画弧，再作∠AOB的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB，扇形AOC，扇形COB，扇形A₁OB₁，扇形A₁OC₁，扇形C₁OB₁；

第二次划分：如图(3)所示，在扇形C₁OB₁中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；

第三次划分：如图(4)所示：…依次划分下去。

(1)根据题意，完成下表：

　 (2)根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2008个？为什么？

12. 如图，在平面直角坐标系中，CA⊥x轴于点A(1，0)，DB⊥x轴于点B(3，0)，直线CD与x轴、y轴分别交于点F、E，S_{四边形ABDC}=4。

　 (1)若直线CD的解析式为y=kx+3，求k的值；

(2)试探索在x轴正半轴上存在几个点P，使△EPF为等腰三角形，并求出这些点的坐标。

11. 已知，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设P、Q分别为AB边、OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，移动的速度为1cm/s，设P、Q移动时间为ts(0≤t≤4)。

　 (1)过点P作PM⊥OA于M，证明，

并求出点P的坐标(用t表示)。

　 (2)求△OPQ的面积S(cm²)与移动时间t(s)之间的函数关系式；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值。

　 (3)请你探索：当t为何值时，△OPQ为直角三角形。

10. 在数学活动中，小明为了求++++…+的值(结果用n表示)，设计如图1所示的几何图形。

　 (1)请你利用这个几何图形求++++…+的值为　　　　 。

　 (2)请你利用图2，再设计一个能求++++…+的值的几何图形。