2．正方形是怎样的特殊平行四边形？正方形，菱形有什么关系？正方形有什么性质？

1．矩形、菱形是怎样的特殊平行四边形，它们比平行四边形多些什么性质？

习题　　 14，15，16，17。

补例、如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使∠EAF=45°，AG⊥EF于G. 求证：AG=AB

解析：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够.

　　∠EAF=45°怎么用呢？显然∠1+∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.

证明：把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB.

　∵∠EAF=45°，∴∠1+∠2=45°.

　∵∠2=∠3，∴∠1+∠3=45°.

　又由旋转所得 AH=AF，AE=AE.

　∴ △AEF≌△AEH.

师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。

通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用。

3、连结AB﹑BC﹑CD﹑DA.

　　 则四边形ABCD就是所要画的正方形.

证明：∵AO=CO,BO=DO

四边形ABCD是平行四边形。

又∵AC=BD, ∴平行四边形ABCD是矩形。

∵AC⊥BD

∴平行四边形ABCD是菱形。

∴四边形ABCD是正方形(四边形既是矩形又是菱形，则四边形是正方形)。

说明:由学生分析画法,在证明过程中让学生逐一说出判断理由,以加深对正方形的判定方法的认识.

2、过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB=OD=15cm。

2、正方形判定条件的应用

[例1]判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由。

(1)　　　 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；

(2)　　　 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；

(3)　　　 对角线互相垂直平分的四边形是正方形；

(4)　　　 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；

(5)　　　 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

师生共析：

(1)　　　 是真命题。因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题。

(2)　　　 真命题。四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真。

(3)　　　 假命题。对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形。如下图，满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形。

(4)　　　 假命题。它可能是任意四边形。如上图，AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形。

(5)　　　 真命题。

方法一，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形。可判定其为真。

方法二，对角线平分　　　 平行四边形

　　　　　　　　　　　　　　　　 对角线垂直

　　　　　　　　　　　　　　 　　平行四边形

　　　　　　　　　　　　　　　　 对角线相等　　　　　　　　　

　　　　 方法三，由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形。

总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用。

[例2]如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明EF=BE+DF。

师生共析：要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决。

像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法。

解：将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG

∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG

∵∠EAF=45°且四边形是正方形，

∴∠ADF﹢∠BAE=45°

∴∠GAB﹢∠BAE=45°

即∠GAE=45°

∴△AEF≌△AEG(SAS)

∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF

[例3]画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。

画法：1、画线段=30cm，取AC的中点O。

1、探索正方形的判定条件：

学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。

(1)直接用正方形的定义判，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么临就可以判定这个平行四边形是正方形；

(2)先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；

(3)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。

后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边想的相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。

上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。

4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？

议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？