摘要：正方形判定条件的应用 [例1]判断下列命题是真命题还是假命题?并说明理由. (1) 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形, (2) 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形, (3) 对角线互相垂直平分的四边形是正方形, (4) 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形, (5) 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 师生共析: (1) 是真命题.因为四条边相等的四边形是菱形.又四个角相等.根据四边形内角和定理知每个角为90°.所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题. (2) 真命题.四个角相等可知每个角都是直角.是矩形.由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形.所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定其为真. (3) 假命题.对角线平分的四边形是平行四边形.对角线垂直的四边形是菱形.所以它不一定是正方形.如下图.满足AO=CO.BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形. (4) 假命题.它可能是任意四边形.如上图.AC⊥BD且AC=BD.但四边形ABCD不是正方形. (5) 真命题. 方法一.对角线互相平分的四边形是平行四边形.对角线相等的平行四边形是矩形.对角线垂直的平行四边形是菱形.所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定其为真. 方法二.对角线平分 平行四边形 对角线垂直 平行四边形 对角线相等 方法三.由对角线互相垂直平分可知是菱形.由对角线平分且相等可知是矩形.而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形. 总结:通过辨析.掌握判定正方形的各种方法和思路.从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立的判定依据.以便灵活应用. [例2]如下图E.F分别在正方形ABCD的边BC.CD上.且∠EAF=45°.试说明EF=BE+DF. 师生共析:要证EF=BE+DF.如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上.然后证明两线段长度相等.此时可依靠全等三角形来解决. 像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法. 解:将△ADF旋转到△ABC.则△ADF≌△ABG ∴AF=AG.∠ADF=∠BAG.DF=BG ∵∠EAF=45°且四边形是正方形. ∴∠ADF﹢∠BAE=45° ∴∠GAB﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45° ∴△AEF≌△AEG(SAS) ∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF [例3]画一个正方形.使它的对角线长为30.并说明画法的依据. 画法:1.画线段=30cm.取AC的中点O.

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