3． 已知集合，集合，若命题

“”是命题“”的充分不必要条件，则实

数的取值范围是　 　　　　　．

2． 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是　 　　　．

1． 复数在复平面上对应的点在第　 　　　象限．

23．[必做题]本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

过抛物线y²=4x上一点A(1，2)作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C(异于点A)在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ₁；点F在线段BC上，满足=λ₂，且λ₁+λ₂=1，线段CD与EF交于点P．

(1)设，求；

(2)当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．

解：(1)过点A的切线方程为y=x+1． …………………………………………………1分

切线交x轴于点B(-1，0)，交y轴交于点D(0，1)，则D是AB的中点．　　

所以．　　　　　　　　　　 　　　　(1) ………………………3分

由Þ=(1+λ) Þ． (2)

同理由 =λ₁， 得=(1+λ₁)，　　　　 　　　(3)

=λ₂， 得=(1+λ₂)．　　　　 　　　(4)

将(2)、(3)、(4)式代入(1)得．

因为E、P、F三点共线，所以 + =1，

再由λ₁+λ₂=1，解之得λ=．……………………………………………………………6分

(2)由(1)得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心．

所以，x=，y=．

解得x₀=3x，y₀=3y-2，代入y₀²=4x₀得，(3y-2)²=12x．

由于x₀≠1，故x≠3．所求轨迹方程为(3y-2)²=12x (x≠3)． ………………………10分

本题以抛物线为载体，巧妙整合平面几何中如下一个著名结论命制而成的。

如图，是的中点，，

则．

证明1　 设，则

，

又，

∴，

则

证明2　 作如图所示的辅助线，其中∥∥，

则

说明：根据上题结论不难得知，本题第1小问结果为；

(2)第2小问利用点转移法即可求得点的轨迹方程．标答中用了三角形的重心公式，事实上无此必要，设，由即可得点坐标，而在抛物线上运动，下同标答．

把握了命题人的思维脉搏，我们知道了本题的由来，如果将抛物线换成其他曲线，也可得一些类似的问题。

23.考查曲线的轨迹方程的探求及综合应用能力．

22．[必做题]本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知函数，其中a＞0．

(1)若在x=1处取得极值，求a的值；

(2)若的最小值为1，求a的取值范围．　　

解：(1) ．

因在处取得极值，故，解得a=1 (经检验)．……………………4分

(2)，因 ，故ax+1＞0，1+x＞0．

当a≥2时，在区间上，递增，的最小值为f(0)=1．

当0<a<2时，由，解得；由，解得．

∴f(x)的单调减区间为，单调增区间为．

于是，f(x)在处取得最小值，不合．

　 综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是 ……………………10分

　　 注：不检验不扣分．

22.考查复合函数求导的基础知识以及导数知识的综合应用．

21．[选做题]本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4－1：几何证明选讲

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．

证明：因AE=AC，AB为直径，

　　　 故∠OAC=∠OAE．　 ……………………………………………………………3分

所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．

又∠EAC=∠PDE，

所以，∠PDE=∠POC．…………………………………………………………10分

B．选修4－2：矩阵与变换

已知圆C：在矩阵对应的变换作用下变为椭圆，求a，b的值．

　　 解：设为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点，

则 ，即 　…………………………………………………4分

又因为点在椭圆上，所以 ．

由已知条件可知， ，所以 a²=9，b²=4．

因为 a>0 ，b>0，所以 a=3，b=2． …………………………………………………10分

C．选修4－4：坐标系与参数方程

　　 在极坐标系中，求经过三点O(0，0)，A(2，)，B(，)

的圆的极坐标方程．

　　 解：设是所求圆上的任意一点，………………………………………………3分

则，

　　 故所求的圆的极坐标方程为．　 …………………………………10分

　　 注：亦正确．

D．选修4－5：不等式选讲

已知x，y，z均为正数．求证：．

证明：因为x，y，z都是为正数，所以． …………………3分

　　 同理可得．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．………10分

20．(本题满分16分)

综合考查函数与导数的基础知识与基本内容，考查分类讨论的意识以及独立分析问题与解决问题的能力．

　　 设函数f(x)=ax³-(a+b)x²+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．

　　 (1)若=0，求函数f(x)的单调增区间；

(2)求证：当0≤x≤1时，||≤．(注：max{a，b}表示a，b中的最大值)

解：(1)由=0，得a=b． …………………………………………………………1分

故f(x)= ax³－2ax²+ax+c．

由=a(3x²－4x+1)=0，得x₁=，x₂=1．…………………………………………2分

列表：

x	(-∞，)		(，1)	1	(1，+∞)
	+	0	-	0	+
f(x)	增	极大值	减	极小值	增

由表可得，函数f(x)的单调增区间是(-∞，)及(1，+∞) ．…………………………4分

(2)=3ax²-2(a+b)x+b=3．

①当时，则在上是单调函数，

所以≤≤，或≤≤，且+=a>0．

所以||≤．………………………………………………………8分

②当，即-a＜b＜2a，则≤≤．

(i) 当-a＜b≤时，则0＜a+b≤．

所以　 ＝＝≥＞0．

所以 ||≤． ……………………………………………………12分

(ii) 当＜b＜2a时，则＜0，即a²+b²－＜0．

所以=＞＞0，即＞．

所以　 ||≤．

综上所述：当0≤x≤1时，||≤．……………………………16分

数学Ⅱ(附加题)

19．(本题满分16分)

已知数列{a_n}满足：a₁=a₂=a₃=2，a_n+1=a₁a₂…a_n-1(n≥3)，记

(n≥3)．

(1)求证数列{b_n}为等差数列，并求其通项公式；

(2)设，数列{}的前n项和为S_n，求证：n<S_n<n+1．

解：(1)方法一　 当n≥3时，因①，

故②． ……………………………………2分

②-①，得　 b_n-1-b_n-2===1，为常数，

所以，数列{b_n}为等差数列． …………………………………………………………5分

因　 b₁==4，故　 b_n=n+3．　 ……………………………………8分

方法二　 当n≥3时，a₁a₂…a_n=1+a_n+1，a₁a₂…a_na_n+1=1+a_n+2，

将上两式相除并变形，得　 ．……………………………………2分

于是，当n∈N*时，

　　　 ．

又a₄=a₁a₂a₃-1=7，故b_n=n+3(n∈N*)．

所以数列{b_n}为等差数列，且b_n=n+3． ………………………………………………8分

(2) 方法一　 因　 ，…………………12分

故　 ．

所以　 ， ………15分

即　 n＜S_n＜n+1． ………………………………………………………………………16分

方法二　 因，故>1，．……………………10分

=<<，

　　 故<，于是．……………………………………16分

第(2)问，为了结果的美观，将S_n放缩范围放得较宽，并且可以改为求不小于S_n的最小正整数或求不大于S_n的最大正整数．

本题(2)的方法二是错误的，请不要采用。

注意

=<<，

　　 故<，于是．

于是。(这一步推理是错误的)