19.综合考查解决基本数列的基本方法(定义法，分组裂项求和等)，考查运算能力．

18．(本题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，其焦点在圆x²+y²=1上．

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使

．

　 　　(i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；

(ii)求OA²+OB²．

解：

(1)依题意，得　 c=1．于是，a=，b=1．　　 ……………………………………2分

所以所求椭圆的方程为． ………………………………………………4分

(2) (i)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则①，②．

又设M(x，y)，因，故 …………7分

因M在椭圆上，故．

整理得．

将①②代入上式，并注意，得　 ．

所以，为定值． ………………………………………………10分

(ii)，故．

又，故．

所以，OA²+OB²==3．　 …………………………………………16分

18.主要考查圆、椭圆及直线的基础知识，考查运算能力及探究能力．第(2)问中，可以证明线段AB的中点恒在定椭圆x²+2y²=1上．后一问与前一问之间具有等价关系．

17．(本题满分14分)

在△ABC中，a²+c²=2b²，其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边长．

(1)求证：B≤；

(2)若，且A为钝角，求A．

解：

(1)由余弦定理，得． ……………………………………3分

因，．………………………………………………………6分

由0＜B＜π，得 　，命题得证． ……………………………………………7分

(2)由正弦定理，得． …………………………………………10分

因，故=1，于是．……………………………………12分

因为A为钝角，所以．

所以(，不合，舍) ．解得． …………………14分

(2)其它方法：

法1　 同标准答案得到，用降幂公式得到，或

，展开再处理，下略．

法2　 由余弦定理得，结合得，

，，展开后用降幂公式再合，下略．

法3　 由余弦定理得，结合得，

，，下略

17.主要考查解三角形的有关知识，考查三角函数及其变换以及基本不等式等基础知识，考查考生的分析与转化能力．

　　 讲评第(1)问题，如果是求B的最小值，那此时还要说明取“=”的条件．第(2)问处理时，应强调减元意识及目标意识．

16．(本题满分14分)

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中．

(1)若BB₁=BC，B₁C⊥A₁B，证明：平面AB₁C平面A₁BC₁；

(2)设D是BC的中点，E是A₁C₁上的一点，且A₁B∥平面

B₁DE，求的值．

解：(1)因为BB₁=BC，所以侧面BCC₁B₁是菱形，所以B₁C⊥BC₁．　 …………………3分

又因为B₁C⊥A₁B ，且A₁B∩BC₁=B，所以BC₁⊥平面A₁BC₁， …………………5分

又B₁C平面AB₁C ，所以平面AB₁C⊥平面A₁BC₁ ．……………………………7分

(2)设B₁D交BC₁于点F，连结EF，则平面A₁BC₁∩平面B₁DE＝EF．

因为A₁B//平面B₁DE， A₁B平面A₁BC₁，所以A₁B//EF．　　 …………………11分

所以＝．

又因为＝，所以＝．　 ………………………………………14分

主要考查应用问题，考查统计与概率的基础知识，以引导考生后期复习中仍要重视基础知识．

15．(本题满分14分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：

组号	分组	频数	频率
第一组		8	0.16
第二组		①	0.24
第三组		15	②
第四组		10	0.20
第五组		5	0.10
合　　　　　　　 计	50	1.00

(1)写出表中①②位置的数据；

(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；

(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．

解：(1) ①②位置的数据分别为12、0.3；　 ………………………………………………4分

(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1； …………………………………8分

(3) 设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}

共有15种．…………………………………………………………………………10分

记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种． …………………………………………………………………………………12分

所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为． ……………14分

主要考查直线与平面的位置关系特别是平行与垂直的关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力，考查画图、读图、用图的能力．

14．定义在上的函数f(x)满足：①f(2x)=cf(x)(c为正常数)；②当2≤x≤4时，f(x)=1-|x-3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c=　　 ▲　　 ．

答案：1或2

解析：由已知可得：当时，；

当时，；当时，，

由题意点共线，据得或2．

作为填空题，可以猜测，并用特殊三点共线求得c的值．当然作为解答题，必须对其余点进行验证．

12． 已知函数f(x)=，x∈，则满足f(x₀)＞f()的x₀的取值范围为　　 ▲　　 ．

答案：∪

解析：

法1　 注意到函数是偶函数故只需考虑区间上的情形．

由知函数在单调递增，

所以在上的解集为，

结合函数是偶函数得原问题中取值范围是．

法2　 ，

作出函数在上的图象

并注意到两函数有交点可得取值范围是．

这是一个常见考型，应引起足够重视．填写答案时，应注意区间的闭、开问题，注意规范答题，否则将可能因为表述问题而失去已到手的分．