摘要：23．[必做题]本题满分10分．解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤． 过抛物线y2=4x上一点A(1.2)作抛物线的切线.分别交x轴于点B.交y轴于点D.点C(异于点A)在抛物线上.点E在线段AC上.满足=λ1,点F在线段BC上.满足=λ2.且λ1+λ2=1.线段CD与EF交于点P． (1)设.求, (2)当点C在抛物线上移动时.求点P的轨迹方程． 解:(1)过点A的切线方程为y=x+1． -------------------1分 切线交x轴于点B.交y轴交于点D(0.1).则D是AB的中点． 所以． (1) ---------3分 由Þ=(1+λ) Þ． (2) 同理由 =λ1. 得=(1+λ1). (3) =λ2. 得=(1+λ2)． (4) 将得． 因为E.P.F三点共线.所以 + =1. 再由λ1+λ2=1.解之得λ=．-----------------------6分 得CP=2PD.D是AB的中点.所以点P为△ABC的重心． 所以.x=.y=． 解得x0=3x.y0=3y-2.代入y02=4x0得.(3y-2)2=12x． 由于x0≠1.故x≠3．所求轨迹方程为(3y-2)2=12x (x≠3)． ---------10分 本题以抛物线为载体.巧妙整合平面几何中如下一个著名结论命制而成的. 如图.是的中点.. 则． 证明1 设.则 . 又. ∴. 则 证明2 作如图所示的辅助线.其中∥∥. 则 说明:根据上题结论不难得知.本题第1小问结果为, (2)第2小问利用点转移法即可求得点的轨迹方程．标答中用了三角形的重心公式.事实上无此必要.设.由即可得点坐标.而在抛物线上运动.下同标答． 把握了命题人的思维脉搏.我们知道了本题的由来.如果将抛物线换成其他曲线.也可得一些类似的问题.

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