2010年高考题

6. (2009年广东省广州市高三年级调研测试)如图，已知

等腰直角三角形，其中∠=90º，．

点A、D分别是、的中点，现将△沿着边

折起到△位置，使⊥，连结、．

(1)求证：⊥；

(2)求二面角的平面角的余弦值．

(1)证明　 ∵点A、D分别是、的中点，

∴.　　　　　　　

∴∠=90º.

∴.

∴ ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵,

∴⊥平面.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵平面,

∴.　　　　　　　

(2)解 　建立如图所示的空间直角坐标系．

则(－1，0，0)，(－2，1，0)，(0，0，1).

∴=(－1，1，0)，=(1，0，1),　　　

设平面的法向量为=(x，y，z)，则：

， 　　　　　　　　

令，得，

∴=(1，1，－1).

显然，是平面的一个法向量，=()．　　　

∴cos<，>=．　

∴二面角的平面角的余弦值是.

5.(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，

已知平面，平面，△为

等边三角形，，为的中点.

(1) 求证：平面；

(2) 求证：平面平面；

(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

设，建立如图所示的坐标系，则

.

∵为的中点，∴.　　　 　　　

　(1) 证明 　，　　　

∵，平面，∴平面.　 　

　(2) 证明　 ∵，　

∴，∴. 　　　　　

∴平面，又平面，

∴平面平面.　　　　　　　　　　　　　　　　

　(3) 解 　设平面的法向量为，由可得：

　 ，取. 　　　　　

　 　又，设和平面所成的角为，则

　 .

∴直线和平面所成角的正弦值为. 　　　

4.(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图，

在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

(1)求证：平面BCD；

(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

(3)求点E到平面ACD的距离．

　 ⑴ 证明　 连结OC

，．

在中，由已知可得

而， 　

即　

∴平面．

　 (2)解 　以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则

，　

∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为．

⑶解 　设平面ACD的法向量为则

，

∴，令得是平面ACD的一个法向量．

又 ∴点E到平面ACD的距离　 ．

3.(厦门市第二外国语学校2008-2009学年高三数学第四次月考)已知点H在正方体的对角线上，∠HDA=．

(Ⅰ)求DH与所成角的大小；

(Ⅱ)求DH与平面所成角的大小．

解：以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．

设

则，．连结，．

设，由已知，

由

可得．解得，

所以．(Ⅰ)因为，

所以．即DH与所成的角为．

(Ⅱ)平面的一个法向量是．

因为， 所以．

可得DH与平面所成的角为．

2. (陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图，边长为2的等

边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，

M为BC的中点

(Ⅰ)证明：AM⊥PM ；

(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；

(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离。

(Ⅰ) 证明 　以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，

建立如图所示的空间直角坐标系,

依题意，可得

∴

∴

即,∴AM⊥PM . 　　　　

　(Ⅱ)解　 设，且平面PAM，则

　 即

∴ ，　　

取，得　　　　　　　　　　

取，显然平面ABCD， ∴

结合图形可知，二面角P－AM－D为45°；　

(Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为，由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直，则

=

即点D到平面PAM的距离为　　　　　　

1.(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)如图，P-ABCD是正四棱锥，是正方体，其中

(1)求证：；

(2)求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；

(3)求到平面PAD的距离

以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系

(1)证明 　设E是BD的中点，P-ABCD是正四棱锥，∴

又， ∴　 ∴∴

∴ 　，　 即。

(2)解 　设平面PAD的法向量是，

∴ 　　取得，又平面的法向量是∴ 　， ∴。

(3)解　 　　∴到平面PAD的距离。

7、(2009南华一中12月月考)正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，E为SA的中点，AB＝1，直线AD到平面SBC的距离等于．

(1)求斜高SM的长；

(2)求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的小；

解法一：(1)连OM，作OH⊥SM于H．

∵SM为斜高，∴M为BC的中点，

∴BC⊥OM．

∵BC⊥SM，∴BC⊥平面SMO．

又OH⊥SM，∴OH⊥平面SBC． 2分

由题意，得．

设SM＝x，

则，解之，即．…………………6分

(2)设面EBC∩SD＝F，取AD中点N，连SN，设SN∩EF＝Q．

∵AD∥BC，∴AD∥面BEFC．而面SAD∩面BEFC＝EF，∴AD∥EF．

又AD⊥SN，AD⊥NM，AD⊥面SMN．

从而EF⊥面SMN，∴EF⊥QS，且EF⊥QM．

∴∠SQM为所求二面角的平面角，记为α．……… 7分

由平几知识，得．

∴，∴．

∴，即　　

所求二面角为． ……… 12分

　 解法二：(1)建立空间坐标系(如图)

∵底面边长为1，∴，

，，

．　　 ……………1分

设，

平面SBC的一个法向，

则，．

∴，．

∴y＝2h，n＝(0，2h，1)．… 3分

而＝(0，1，0)，由题意，得　　　　　　　　　 ．解得．

∴斜高． …………………………………………6分

(2)n＝(0，2h，1)＝，

由对称性，面SAD的一个法向量为n₁＝………8分

设平面EBC的一个法向量n₂=(x，y，1)，由

，，得

　解得∴．…10分

设所求的锐二面角为α，则

，∴．……… 12分

2009年联考题

6、(2009昆明市期末)如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=2,BC=2，D为B₁C₁的中点。

　 (Ⅰ)证明：B₁C⊥面A₁BD；

　 (Ⅱ)求二面角B-AC-B₁的大小。

方法一：

　 (Ⅰ)证明：在Rt△BB₁D和Rt△B₁C₁C中，

　　 由 得

　　　　 △BB₁D∽△B₁C₁C，∠B₁DB=∠B₁CC₁。

　　 又 ∠CB₁D+∠B₁CC₁=90°

　　 故 ∠CB₁D+∠B₁DB=90°

　　 故 B₁C⊥BD.·····················3分

　　 又 正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D为B₁C₁的中点。

　　 由 A₁D⊥平面B₁C，

　　 得 A₁D⊥B₁C

　　 又A₁D∩B₁D=D，

　　 所以 B₁C⊥面A₁BD。···················································6分

　 (Ⅱ)解：设E为AC的中点，连接BE、B₁E。

　　 在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C=B₁A，∴B₁E⊥AC，BE⊥AC，

　　 即 ∠BEB₁为二面角B-AC-B₁的平面角·································9分

　　 又

　　 故

　　 所以　 二面角的大小为······································12分

　　 方法二：

　 (Ⅰ)证明：设BC的中点为O，如图建立空间直角坐标系O-xyz

依题意有

则

由

　　 故　

　　 又　

　　 所以

　　 故 　　 又　 BD∩BA₁=B

　　 所以 B₁C⊥面A₁BD，

　 (Ⅱ)依题意有

　　 设⊥平面ACB₁，⊥平面ABC。

　　 求得

　　 故

　　 所以　 二面角的大小为······································12分

5、(2009深圳一模)如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直．已知,．

(Ⅰ)求证：平面平面；

(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小；

(Ⅲ)当的长为何值时，二面角的大小为？

解：(Ⅰ)证明：平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又为圆的直径，，

平面．

平面，平面平面．　 …………………4分

　(Ⅱ)根据(Ⅰ)的证明，有平面，为在

平面上的射影，

因此，为直线与平面所成的角． ………………………5分

，四边形为等腰梯形，

过点作，交于．

,，则．

在中，根据射影定理，得．…………………7分

，．

直线与平面所成角的大小为．　　　 …………………8分

　(Ⅲ)(解法一)过点作，交的延长线于点，连．

根据(Ⅰ)的证明，平面，则，

为二面角的平面角，．…………………9分

在中，，,．　 …………………　 10分

又四边形为矩形， ．

．　　　　　　　　

因此，当的长为时，二面角的大小为．　　 …………………12分

(解法二)设中点为，以为坐标原点，、、方向

分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系(如图)

设，则点的坐标为

在中，，,．

点的坐标为，点的坐标为,

，

设平面的法向量为，则,．

即　　 令，解得

　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………10分

取平面的一个法向量为，依题意与的夹角为

，即， 解得(负值舍去)

因此，当的长为时，二面角的大小为．　　 …………………12分