14．(祥云一中三次月考文)(本小题满分12分)

　 如图，已知正四棱柱-中AB=1，A=2，N是D的中点，点M在BB上，异面直线MN、A互相垂直.

　 (1)试确定点M的位置，并加以证明；

　 (2)求二面角A-MN-的大小.

解：(Ⅰ)取A1A的中点P，连PM、PN，则PN//AD，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

则就是所求二面角的平面角.

　　　　 显然

利用等面积法求得A1O=AO=在△A1OA中由余弦定理得

cos∠AOA=

所以二面角的大小为

解二:(向量法) (咯)

13. 解：以CD为x轴,CA为y轴,以CE为z轴建立空间坐标系，　　　　　　　　　　

　 (1)C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,,0),F(0, ,),B(-1,,0),

12．(祥云一中三次月考理)(本小题满分12分)

如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，.

　 (1)求证：AC⊥BF；

(2)求二面角F-BD-A的大小.

11.(祥云一中二次月考理)(本小题满分12分)

　如图所示，四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD垂直，DC=1，AD=AP=2，AB=5，∠CDA=∠DAB=90°，E是PB的中点.

(1)求证：BC⊥平面PAC；　　　　　　

(2)求异面直线PD、AE所成角的大小；

(3)求二面角A-CE-B的大小..　　　　

法一： (1)证：由题意：AC=，则，又∠DCA=∠CAB，所以△DCA 与△CAB 相似，所以 BC⊥AC，又由侧棱PA与底面ABCD垂直，有PA ⊥BC，

所以BC⊥平面PAC；……………4分　　　　　　

(2)连BD，取BD的中点M，连EM，

则EM‖PD，△AEM中，AE=AM=，EM=，设异面直线PD、AE所成角为，则 ，所以PD、AE所成角为.

(3)作AH⊥PC于H，作HK⊥EC于K，连AK，又(1)可知.∠AKH即为所求二面角的平面角的补角.在△APC中求出AH=，在△ACE中求出AK=，(或在△PCE中求出HK=)

所求二面角的大小为(或为).

法二：(坐标法)(2)PD、AE所成角为.

　　　　　　　 (3)所求二面角的大小为：

10.解： 　 如图取DC的中点O，连PO，∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC.

又∵面PDC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD.如图建立空间直角坐标系

则

(1)E为PC中点，　 ，

，

　　　　　　　　　　　 ………………………………….6分

(2)可求，

设面PAB的一个法向量为，

　 ①　　 . ②

由②得y=0，代入①得令

则D到面PAB的距离d等于

即点D到面PAB的距离等于_{……………………………..12分}

9.(祥云一中月考理)(本小题满分12分)

　　 如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点。

　 　　 (I)求异面直线PA与DE所成的角的余弦值；

　　 (II)求点D到面PAB的距离．

8. (玉溪一中期中文)(本小题12分)如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．

(Ⅰ)求和平面所成的角的大小；

(Ⅱ)证明平面；

(Ⅲ)求二面角的大小．

(Ⅰ)解：在四棱锥中，因底面，平面，故．

又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．

在中，，故．

所以和平面所成的角的大小为．

(Ⅱ)证明：在四棱锥中，

因底面，平面，故．

由条件，，面．

又面，．

由，，可得．

是的中点，，．综上得平面．

(Ⅲ)解：过点作，垂足为，连结．由(Ⅱ)知，平面，在平面内的射影是，则．

因此是二面角的平面角．

由已知，可得．设，可得

，，，．

在中，，∴，则

．

在中，．所以二面角的大小

7．(马鞍山学业水平测试)(本小题满分12分)

(文)在斜三棱柱中，M为的中点，N是BC上一点.

(Ⅰ)若平面，求证：N为BC的中点；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若，求证：.

(Ⅰ) ，所以

因为M为B₁C₁中点，所以N为BC中点----------------------6分

(Ⅱ)，且M为中点，所以----------8分

，M为中点，所以，----------10分

又,则，　　　　 ----------12分

又,所以，　　　　　　 ----------14分

又，所以 　-------16分

5. (马鞍山学业水平测试)(本小题满分8分)

如图,在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E、F分别是BB₁、CD的中点.

(Ⅰ)证明：AD⊥D₁F;

(Ⅱ)求AE与D₁F所成的角;

(Ⅲ)证明：面AED⊥面A₁FD₁.

解：以D为原点，DA，DC，DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1…………………………………………………………………………1分

则有A(1,0，0)，E(1，2，)，F(0，，0)，D₁(0，0，1)，A₁(1，0，1)……2分

(Ⅰ)，∴AD⊥D₁F………………………4分

(Ⅱ)，∴AE⊥D₁F

　 AE与D₁F所成的角为90⁰…………………………………………………………………6分

(Ⅲ)由以上可知D₁F⊥平面AED，又D₁F在平面A₁FD₁内，

　 ∴面AED⊥面A₁FD₁……………………………………………………………………8分

是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，

，的中点，，．

　 (I)设是的中点，证明：平面；

　 (II)证明：在内存在一点，使平面．

证明：(I)如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在

直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，则

，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面

(II)设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，

4．(池州市七校元旦调研)设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 (　　 )　

A．　　　　 B．　　 C．　　　 D．

答案：C

[解析]对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．