摘要：如图.为圆的直径.点.在圆上..矩形和圆所在的平面互相垂直．已知,． (Ⅰ)求证:平面平面, (Ⅱ)求直线与平面所成角的大小, (Ⅲ)当的长为何值时.二面角的大小为? 解:(Ⅰ)证明:平面平面,, 平面平面=. 平面． 平面.. 又为圆的直径.. 平面． 平面.平面平面． -------4分 的证明.有平面.为在 平面上的射影. 因此.为直线与平面所成的角． ---------5分 .四边形为等腰梯形. 过点作.交于． ,.则． 在中.根据射影定理.得．-------7分 .． 直线与平面所成角的大小为． -------8分 过点作.交的延长线于点.连． 根据(Ⅰ)的证明.平面.则. 为二面角的平面角.．-------9分 在中..,． ------- 10分 又四边形为矩形. ． ． 因此.当的长为时.二面角的大小为． -------12分 设中点为.以为坐标原点...方向 分别为轴.轴.轴方向建立空间直角坐标系 设.则点的坐标为 在中..,． 点的坐标为.点的坐标为, . 设平面的法向量为.则,． 即 令.解得 -------10分 取平面的一个法向量为.依题意与的夹角为 .即. 解得 因此.当的长为时.二面角的大小为． -------12分

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