1.  设为虚数单位，复数的共轭复数等于（    ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2  定义集合运算，设，，则集合中所有元素之和为（    ）

3.  在内，使成立的的取值范围是（    ）

4.  设是内任一点，且，，、、 的面积分别为、、，且，则在平面直角坐标系中，以为坐标的点的轨迹图形是（    ）

5.  设且，若函数在处连续，则等于（    ）

6.  已知，是大于的正整数，记，则有（    ）

                   与的大小关系无法确定

7.  在如图的正三棱锥中，、分别为、的中

点，且平面平面，则二面角的平面角

的余弦值为（    ）

8.  在、、、、、、的任一排列，，，，，，中，使相邻两数都互质的排列方式共有（    ）

     种          种           种          种

9.  已知圆的方程为，是圆上的一个动点，若的垂直平分线总是被平面区域覆盖，则实数的取值范围是（    ）

10. 已知，则函数的最小值为（    ）

11. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的是义域为_____________.

12. 已知抛物线（）的准线与轴交于点，若绕点以每秒弧度按逆时针方向旋转秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则_____________.

13. 已知是的重心，，，则的最小值为_______，取最小值时，_____________.

14. 已知等比数列中，对所有的正整数，都有其前项和，请写出满足此条件的一个等比数列的通项公式：_____________.

15. 若一个棱长为的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长最大为_____________.

试题答题卡

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答 案

11.；           12.；       13．，   ；

14.（公比为的任一等比数列）；         15．

16．（本小题满分12分）

若，，，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当时，的最大值为.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若，，求实数的值。

【解】（Ⅰ）

………4′

∵的图象对称中心到对称轴的最小距离为，∴的周期为，得.

.………6′

又时，，∴，∴.

∵，∴，，∴.………8′

（Ⅱ）由得：，∵，∴.

由单位圆的正弦线知：或，或………12′

17．（本小题满分12分）

移动公司进行促销活动，促销方案为顾客消费元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，中奖后移动公司返还顾客现金元。小李购买一部价格为元的手机，只能荻得两张奖券，于是小李补偿元给同事购元的小灵通（可以得到三张奖券），记小李抽奖后实际支出为元。

（Ⅰ）求的分布列；

（Ⅱ）试说明小李出资元增加一张奖券是否划算。

【解】（Ⅰ）的所有取值为、、、.

；；

；.

∴的分布列为

………6′

（Ⅱ）.（元）

    设小李不出资元增加一张奖券消费的实际支出为元。

    则；；.

∴（元）

故小李出资元增加一张奖券划算。………12′

18．（本小题满分12分）

已知正四面体的边、、、的中点分别为、、、.

（Ⅰ）求证：四边形为正方形；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角。

【法一】（Ⅰ）由己知可得，且，

∴四边形为平行四边形。

又，∴为棱形。

取的中点，连结、，

易证，，∴平面，

∴，∴，∴四边形为正方形。………6′

（Ⅱ）设正四面体的棱长为，，.

    由（Ⅰ）知面面，即面面.

设的中点为，连交于点，∴面.

在，，则，

而面，∴点平面的距离等于.

设直线与平面所成的角为.

则.

∴直线与平面所成的角为.………12′

【法二】

∴直线与平面所成的角为.………12′

19．（本小题满分13分）

甲、乙两家电公司，2000年的市场占有率均为.根据市场分析和预测，甲公司从2000年（第1年）起市场占有率与的关系呈抛物线，如图一；乙公司自2000年起逐年的市场占有率都有所增加，其规律如图二。

（Ⅰ）根据两图信息，求出两公司第年市场占有率、的表达式；

（Ⅱ）根据甲、乙两公司所在地的市场规律，如果某公司市场占有率不足另一公司市场占有率的，则该公司被另一公司兼并。经计算，2019年之前不会出现兼并局面，试问2019年是否会出现兼并局面，并说明理由。

【解】（Ⅰ）设

则，解得：，∴.

又，，，…，.

这个式子两边相加得：………7′

（Ⅱ）年，即经过年，由（Ⅰ）可得，.

∴. ∴2019年会出现兼并局面。………13′

20．（本小题满分12分）

已知函数，为自然对数的底数。

（Ⅰ）证明：当时，对任意正整数，不等式成立；

（Ⅱ）证明：当时，对正整数，不等式成立；

（Ⅲ）若，研究的值及的增减性，并求的极值。

【证】（Ⅰ）下面用数学归纳法证明，不等式成立。

21．（本小题满分14分）

已知、分别是椭圆（）的左、右焦点，其左准线与轴相交于点，并且满足，. 设、是上半部分椭圆上满足的两点，其中.

（Ⅰ）求此椭圆的方程及直线的斜率的取值范围；

（Ⅱ）过、两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点，求证：点在一条定直线上，并求点的纵坐标的取值范围。

【解】（Ⅰ）由于，，∴，解得：.

从而所求椭圆的方程是………2′

又由（Ⅰ）知，∴.

因此点在定直线上，并且点的纵坐标的取值范围是.………14′

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m