设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的

2

倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2

3

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆E上横坐标大于2的动点，点B，C在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PBC，试判断点P在何位置时△PBC的面积S最小，并证明你的判断．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos²

A-B

2

cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-

1

2

（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=5

3

，b=5，求角B及△ABC的面积．

如图，已知

AB

=（1，1），

CD

=（-2，-3），设

BC

=（x，y）．
（1）若四边形ABCD为梯形，求x、y间的函数的关系式；
（2）若以上梯形的对角线互相垂直，求

BC

．

已知点A，B是抛物线C：y²=2px（p＞0）上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦点F到直线x-y+2=0的距离为

3 2

2

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）现给出以下三个论断：①直线AB过焦点F；②直线AD过原点O；③直线BD平行x轴．请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC₁上一点，且BE=

1

3

BC₁．
（1）求证：GE∥侧面AA₁B₁B；
（2）求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的正切值；
（3）在直线AG上是否存在点T，使得B₁T⊥AG？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由．

已知函数f（x）=sinx-ax-bxcosx（a∈R，b∈R）．
（1）若b=0，讨论函数f（x）在区（0，π）上的单调性；
（2）若a=2b且a≥

2

3

，对任意的x＞0，试比较f（x）与0的大小．

已知椭圆G的离心率为

2

2

，其短轴两端点为A（0，1），B（0，-1）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC、BD与x轴分别交于点M、N．判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b-c）cosA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知a=

3

，D点为边BC的中点，试求AD的取值范围．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=

2π

3

，b=3，△ABC的面积为

15 3

4

．
（Ⅰ）求边a的边长；
（Ⅱ）求cos2B的值．

如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，已知AB=2，VA=VB=VC=2．
（1）求证：VO⊥平面ABC；
（2）求二面角V-AC-B的正切值．