Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的

2

倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2

3

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆E上横坐标大于2的动点，点B，C在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PBC，试判断点P在何位置时△PBC的面积S最小，并证明你的判断．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由已知条件推导出a=

2

b，

b2

a

=

3

，由此能求出椭圆方程．
（ II）设P(x0，y0)(2＜x0≤2

3

)，B（0，m），C（0，n）．不妨设m＞n，由已知条件推导出m，n是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两个根，由此能求出点P的横坐标为x0=2

3

时，△PBC的面积S最小．

解答： 解：（ I）由已知a=

2

b，

b2

a

=

3

，…（2分）
解得：a=2

3

，b=

6

，
故所求椭圆方程为

x2

12

+

y2

6

=1．…（4分）
（ II）设P(x0，y0)(2＜x0≤2

3

)，
B（0，m），C（0，n）．不妨设m＞n，
则直线PB的方程为lPB：y-m=

y0-m

x0

x，…（5分）
即（y₀-m）x-x₀y+x₀m=0，
又圆心（1，0）到直线PB的距离为1，
即

|y0-m+x0m|

(y0-m)2+x02

=1，x0＞2，
化简得(x0-2)m2+2y0m-x0=0，…（7分）
同理，(x0-2)n2+2y0n-x0=0，
∴m，n是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两个根，
∴m+n=

-2y0

x0-2

，mn=

-x0

x0-2

，
则(m-n)2=

4 x 2 0 +4 y 2 0 -8x0

(x0-2)2

，…（9分）
∵P（x₀，y₀）是椭圆上的点，
∴

y

2 0

=6(1-

x 2 0

12

)，∴(m-n)2=

2 x 2 0 -8x0+24

(x0-2)2

．
则S2=

1

4

•

2 x 2 0 -8x0+24

(x0-2)2

•

x

2 0

=

x 2 0 -4x0+12

2(x0-2)2

•

x

2 0

=

(x0-2)2+8

2(x0-2)2

•

x

2 0

，
令x0-2=t(0＜t≤2(

3

-1))，
则x₀=t+2，令f(t)=

(t2+8)(t+2)2

2t2

，
化简，得f(t)=

1

2

t2+2t+6+

16

t

+

16

t2

，
则f′(t)=t+2-

16

t2

-

32

t3

=

(t+2)(t3-16)

t3

，
令f'（t）=0，得t=2

3	2

，而2(

3

-1)＜2

3	2

，
∴函数f（t）在[0，2(

3

-1)]上单调递减，
当t=2(

3

-1)时，f（t）取到最小值，
此时x0=2

3

，
即点P的横坐标为x0=2

3

时，△PBC的面积S最小．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点在何处时三角形面积最小的判断和证明，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．